Solusi Pertidaksamaan Logaritma: 2log (x²+3x) ≤ 2log (x+15)

by ADMIN 60 views

Guys, kali ini kita akan membahas tentang cara menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma. Soal yang akan kita bahas adalah 2log (x²+3x) ≤ 2log (x+15). Buat kalian yang lagi belajar matematika, khususnya tentang logaritma, yuk simak pembahasan ini sampai selesai!

Memahami Konsep Dasar Logaritma

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita refresh dulu konsep dasar logaritma. Logaritma itu sederhananya adalah kebalikan dari eksponensial. Jadi, kalau kita punya persamaan a^b = c, maka dalam bentuk logaritma bisa ditulis sebagai alog c = b. Di sini, a adalah basis logaritma, b adalah hasil logaritma, dan c adalah angka yang dicari logaritmanya (numerus).

Dalam soal kita, basis logaritmanya adalah 2. Basis logaritma ini penting banget untuk diperhatikan, karena akan mempengaruhi cara kita menyelesaikan pertidaksamaannya. Selain basis, kita juga perlu ingat tentang syarat numerus. Numerus itu harus selalu positif. Jadi, angka di dalam tanda logaritma (x²+3x dan x+15 dalam soal kita) harus lebih besar dari 0. Ini adalah kunci utama dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.

Langkah-Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma

Oke, sekarang kita masuk ke langkah-langkah penyelesaian soal 2log (x²+3x) ≤ 2log (x+15):

1. Menentukan Syarat Numerus

Langkah pertama yang wajib kita lakukan adalah menentukan syarat numerus. Kenapa? Karena logaritma hanya terdefinisi untuk numerus yang positif. Jadi, kita punya dua syarat di sini:

  • x²+3x > 0
  • x+15 > 0

Kita selesaikan satu per satu ya. Untuk x²+3x > 0, kita faktorkan dulu menjadi x(x+3) > 0. Dari sini, kita dapat dua nilai kritis, yaitu x = 0 dan x = -3. Kita buat garis bilangan dan uji tanda. Hasilnya, kita dapat himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan ini adalah x < -3 atau x > 0.

Selanjutnya, untuk x+15 > 0, kita langsung dapat x > -15. Jadi, kita punya dua syarat numerus:

  • x < -3 atau x > 0
  • x > -15

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma

Setelah kita punya syarat numerus, sekarang kita bisa fokus ke pertidaksamaan logaritmanya. Karena basis logaritmanya sama (yaitu 2) dan basis ini lebih besar dari 1, maka kita bisa langsung menghilangkan logaritmanya dan tanda pertidaksamaan tetap sama. Jadi, kita punya:

x²+3x ≤ x+15

Kita pindahkan semua suku ke ruas kiri, sehingga menjadi:

x²+2x-15 ≤ 0

Kemudian, kita faktorkan lagi:

(x+5)(x-3) ≤ 0

Dari sini, kita dapat dua nilai kritis, yaitu x = -5 dan x = 3. Kita buat garis bilangan dan uji tanda lagi. Hasilnya, kita dapat himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan ini adalah -5 ≤ x ≤ 3.

3. Menggabungkan Semua Himpunan Penyelesaian

Nah, langkah terakhir adalah menggabungkan semua himpunan penyelesaian yang sudah kita dapatkan. Kita punya tiga himpunan penyelesaian:

  • x < -3 atau x > 0 (syarat numerus pertama)
  • x > -15 (syarat numerus kedua)
  • -5 ≤ x ≤ 3 (penyelesaian pertidaksamaan logaritma)

Untuk menggabungkannya, kita buat lagi garis bilangan yang mencakup semua nilai kritis (-15, -5, -3, 0, dan 3). Kemudian, kita arsir daerah yang memenuhi semua ketiga himpunan penyelesaian di atas. Setelah kita arsir dengan teliti, kita akan dapat himpunan penyelesaian akhirnya, yaitu:

-5 ≤ x < -3 atau 0 < x ≤ 3

Jadi, inilah solusi dari pertidaksamaan logaritma 2log (x²+3x) ≤ 2log (x+15). Gimana, guys? Lumayan panjang ya langkah-langkahnya, tapi kalau kita pahami konsep dasarnya dan teliti dalam setiap langkah, pasti bisa kok.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Logaritma

Supaya kalian makin jago dalam mengerjakan soal pertidaksamaan logaritma, berikut beberapa tips dan trik yang bisa kalian terapkan:

  • Pahami Konsep Dasar: Ini adalah kunci utama. Tanpa pemahaman konsep yang kuat, akan sulit untuk menyelesaikan soal yang lebih kompleks.
  • Selalu Ingat Syarat Numerus: Ini adalah aturan wajib yang tidak boleh dilanggar. Numerus harus selalu positif!
  • Perhatikan Basis Logaritma: Basis logaritma akan mempengaruhi tanda pertidaksamaan saat kita menghilangkan logaritmanya. Kalau basisnya lebih besar dari 1, tanda pertidaksamaan tetap sama. Tapi, kalau basisnya antara 0 dan 1, tanda pertidaksamaan harus dibalik.
  • Buat Garis Bilangan: Garis bilangan sangat membantu dalam menentukan himpunan penyelesaian. Apalagi kalau ada banyak syarat yang harus dipenuhi.
  • Teliti dalam Perhitungan: Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa berakibat fatal. Jadi, pastikan kalian teliti dalam setiap langkah.
  • Banyak Latihan Soal: Practice makes perfect! Semakin banyak kalian latihan soal, semakin terbiasa kalian dengan berbagai macam bentuk soal dan semakin cepat kalian dalam menyelesaikannya.

Contoh Soal Lain dan Pembahasannya

Buat kalian yang masih penasaran dan pengen lihat contoh soal lain, yuk kita bahas satu soal lagi:

Soal: log (x-2) + log (x-3) < log (2x-5)

1. Menentukan Syarat Numerus

Kita punya tiga syarat numerus di sini:

  • x-2 > 0 => x > 2
  • x-3 > 0 => x > 3
  • 2x-5 > 0 => x > 5/2

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma

Karena ini penjumlahan logaritma dengan basis yang sama (basis 10), kita bisa gabungkan logaritmanya menggunakan sifat logaritma:

log [(x-2)(x-3)] < log (2x-5)

Karena basisnya 10 (lebih besar dari 1), kita bisa hilangkan logaritmanya dan tanda pertidaksamaan tetap sama:

(x-2)(x-3) < 2x-5

Kita jabarkan dan sederhanakan:

x² - 5x + 6 < 2x - 5

x² - 7x + 11 < 0

Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ini, kita bisa gunakan rumus ABC:

x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Dalam hal ini, a = 1, b = -7, dan c = 11. Kita masukkan ke rumus ABC:

x = [ 7 ± √((-7)² - 4 * 1 * 11) ] / 2 * 1

x = [ 7 ± √5 ] / 2

Jadi, kita dapat dua nilai kritis, yaitu x₁ = (7 - √5) / 2 dan x₂ = (7 + √5) / 2. Kita buat garis bilangan dan uji tanda. Hasilnya, kita dapat himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan ini adalah (7 - √5) / 2 < x < (7 + √5) / 2.

3. Menggabungkan Semua Himpunan Penyelesaian

Kita punya empat himpunan penyelesaian:

  • x > 2
  • x > 3
  • x > 5/2
  • (7 - √5) / 2 < x < (7 + √5) / 2

Kita gabungkan semua himpunan penyelesaian ini di garis bilangan. Setelah kita arsir dengan teliti, kita akan dapat himpunan penyelesaian akhirnya, yaitu:

3 < x < (7 + √5) / 2

Nah, itu dia contoh soal lain dan pembahasannya. Gimana, guys? Sudah mulai lebih paham kan?

Kesimpulan

Pertidaksamaan logaritma memang terlihat rumit, tapi sebenarnya tidak sesulit itu kok. Yang penting, kita pahami konsep dasarnya, ingat syarat numerus, perhatikan basis logaritma, dan teliti dalam perhitungan. Jangan lupa juga untuk banyak latihan soal ya, supaya makin jago!

Semoga pembahasan ini bermanfaat buat kalian semua. Kalau ada pertanyaan atau soal lain yang pengen dibahas, jangan ragu untuk tulis di kolom komentar ya. Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!