Solusi Pertidaksamaan Matematika: Panduan Lengkap & Mudah Dipahami

Hai guys! Kali ini kita akan membahas tuntas tentang cara menyelesaikan soal pertidaksamaan. Tenang aja, kita akan bahas dengan santai dan mudah dipahami kok. Soal pertidaksamaan ini sering muncul dalam ujian matematika, jadi penting banget buat kita kuasai. Kita akan bedah satu per satu soal yang diberikan, mulai dari langkah-langkah penyelesaiannya hingga trik-trik jitu untuk mempermudah perhitungan. Yuk, langsung aja kita mulai!

a. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Ganda: $8 < 2x^2 - 5x - 15 < 30$

Pertama-tama, kita akan membahas soal pertidaksamaan kuadrat ganda. Soal ini terlihat sedikit rumit, tapi tenang, kita akan pecah menjadi dua bagian yang lebih sederhana. Konsep dasarnya adalah membagi pertidaksamaan menjadi dua pertidaksamaan terpisah, lalu mencari irisan dari kedua solusi tersebut. Mari kita mulai!

Langkah 1: Memecah Pertidaksamaan

Pertidaksamaan $8 < 2x^2 - 5x - 15 < 30$ bisa kita pecah menjadi dua:

1. $2x^2 - 5x - 15 > 8$
2. $2x^2 - 5x - 15 < 30$

Langkah 2: Menyelesaikan Pertidaksamaan Pertama

Untuk $2x^2 - 5x - 15 > 8$, kita ubah menjadi:

$2x^2 - 5x - 23 > 0$

Kemudian, kita cari akar-akar persamaan kuadratnya. Kita bisa menggunakan rumus abc atau metode faktorisasi. Dalam hal ini, kita gunakan rumus abc:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dengan $a = 2$, $b = -5$, dan $c = -23$, kita dapatkan:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-23)}}{2(2)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 184}}{4}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{209}}{4}$

Jadi, akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{5 - \sqrt{209}}{4}$ dan $x_2 = \frac{5 + \sqrt{209}}{4}$.

Karena koefisien $x^2$ positif (yaitu 2), grafik parabola terbuka ke atas. Artinya, nilai $2x^2 - 5x - 23 > 0$ berada di luar interval akar-akar. Jadi, solusi untuk pertidaksamaan pertama adalah:

$x < \frac{5 - \sqrt{209}}{4}$ atau $x > \frac{5 + \sqrt{209}}{4}$

Langkah 3: Menyelesaikan Pertidaksamaan Kedua

Selanjutnya, kita selesaikan $2x^2 - 5x - 15 < 30$. Kita ubah menjadi:

$2x^2 - 5x - 45 < 0$

Kita cari akar-akar persamaan kuadratnya lagi:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-45)}}{2(2)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 360}}{4}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{385}}{4}$

Jadi, akar-akarnya adalah $x_3 = \frac{5 - \sqrt{385}}{4}$ dan $x_4 = \frac{5 + \sqrt{385}}{4}$.

Karena koefisien $x^2$ positif, grafik parabola terbuka ke atas. Artinya, nilai $2x^2 - 5x - 45 < 0$ berada di antara interval akar-akar. Jadi, solusi untuk pertidaksamaan kedua adalah:

$\frac{5 - \sqrt{385}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{385}}{4}$

Langkah 4: Mencari Irisan Solusi

Terakhir, kita cari irisan dari kedua solusi tersebut. Dengan kata lain, kita cari nilai $x$ yang memenuhi kedua pertidaksamaan. Kita bisa menggunakan garis bilangan untuk mempermudah visualisasi. Setelah diiriskan, solusi akhirnya adalah:

$\frac{5 - \sqrt{385}}{4} < x < \frac{5 - \sqrt{209}}{4}$ atau $\frac{5 + \sqrt{209}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{385}}{4}$

Kesimpulan: Solusi dari pertidaksamaan $8 < 2x^2 - 5x - 15 < 30$ adalah irisan dari kedua solusi di atas. Ingat, selalu lakukan pengecekan untuk memastikan solusi yang kita dapatkan benar.

b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional: $x - \frac{7}{x} \leq 1$

Soal berikutnya adalah pertidaksamaan rasional. Tantangan utama dalam menyelesaikan jenis soal ini adalah memastikan penyebut tidak sama dengan nol. Mari kita mulai dengan langkah-langkah yang sistematis!

Langkah 1: Menyederhanakan Pertidaksamaan

Kita mulai dengan menyederhanakan pertidaksamaan $x - \frac{7}{x} \leq 1$. Kita pindahkan semua suku ke ruas kiri:

$x - \frac{7}{x} - 1 \leq 0$

Kemudian, kita samakan penyebutnya:

$\frac{x^2 - 7 - x}{x} \leq 0$

$\frac{x^2 - x - 7}{x} \leq 0$

Langkah 2: Mencari Pembuat Nol dan Titik Kritis

Kita cari pembuat nol dari pembilang ($x^2 - x - 7 = 0$) dan penyebut ($x = 0$). Untuk pembilang, kita gunakan rumus abc:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$

Jadi, akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$ dan $x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$.

Titik kritisnya adalah $x = 0$, $x_1 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$, dan $x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$.

Langkah 3: Menguji Interval

Kita buat garis bilangan dan uji tanda pada setiap interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis. Kita pilih nilai $x$ di setiap interval, lalu substitusikan ke pertidaksamaan $\frac{x^2 - x - 7}{x} \leq 0$. Misalnya:

• Interval $x < \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$: Pilih $x = -3$. Maka, $\frac{(-3)^2 - (-3) - 7}{-3} = \frac{5}{-3} < 0$. (Memenuhi)
• Interval $\frac{1 - \sqrt{29}}{2} < x < 0$: Pilih $x = -1$. Maka, $\frac{(-1)^2 - (-1) - 7}{-1} = \frac{-5}{-1} > 0$. (Tidak memenuhi)
• Interval $0 < x < \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$: Pilih $x = 1$. Maka, $\frac{(1)^2 - (1) - 7}{1} = -7 < 0$. (Memenuhi)
• Interval $x > \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$: Pilih $x = 4$. Maka, $\frac{(4)^2 - (4) - 7}{4} = \frac{5}{4} > 0$. (Tidak memenuhi)

Langkah 4: Menentukan Solusi

Berdasarkan hasil pengujian, solusi pertidaksamaan adalah:

$x \leq \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$ atau $0 < x \leq \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$

Penting: Perhatikan bahwa $x$ tidak boleh sama dengan 0 karena penyebut tidak boleh nol. Selalu periksa kembali langkah-langkah dan perhitungan untuk meminimalkan kesalahan.

c. Pertidaksamaan Rasional dengan Pembilang dan Penyebut Kompleks: $\frac{x+1}{x^2} \leq \frac{x-2}{x+3}$

Guys, kita lanjut ke soal berikutnya yang lebih menantang! Kali ini, kita akan berhadapan dengan pertidaksamaan rasional yang melibatkan pembilang dan penyebut yang lebih kompleks. Jangan panik, kita akan selesaikan dengan langkah-langkah yang terstruktur.

Langkah 1: Menyederhanakan Pertidaksamaan

Kita mulai dengan menyederhanakan pertidaksamaan $\frac{x+1}{x^2} \leq \frac{x-2}{x+3}$. Kita pindahkan semua suku ke ruas kiri:

$\frac{x+1}{x^2} - \frac{x-2}{x+3} \leq 0$

Kemudian, samakan penyebutnya:

$\frac{(x+1)(x+3) - (x-2)x^2}{x^2(x+3)} \leq 0$

$\frac{x^2 + 4x + 3 - x^3 + 2x^2}{x^2(x+3)} \leq 0$

$\frac{-x^3 + 3x^2 + 4x + 3}{x^2(x+3)} \leq 0$

Langkah 2: Mencari Pembuat Nol dan Titik Kritis

Kita cari pembuat nol dari pembilang ($-x^3 + 3x^2 + 4x + 3 = 0$) dan penyebut ($x^2(x+3) = 0$).

Untuk pembilang, mencari akarnya bisa jadi rumit. Kita bisa menggunakan metode Horner atau mencoba-coba nilai $x$. Kita perhatikan bahwa $x = -1$ adalah salah satu akarnya. Dengan melakukan pembagian Horner atau faktorisasi, kita dapatkan:

$-(x+1)(x^2 - 4x - 3) = 0$

Maka, $x = -1$ atau $x^2 - 4x - 3 = 0$. Untuk $x^2 - 4x - 3 = 0$, kita gunakan rumus abc:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{7}$

Jadi, akar-akarnya adalah $x = -1$, $x_1 = 2 - \sqrt{7}$, dan $x_2 = 2 + \sqrt{7}$.

Untuk penyebut, $x^2(x+3) = 0$, maka $x = 0$ (akar ganda) dan $x = -3$.

Titik kritisnya adalah $x = -3$, $x = -1$, $x = 0$, $x_1 = 2 - \sqrt{7}$, dan $x_2 = 2 + \sqrt{7}$.

Langkah 3: Menguji Interval

Kita buat garis bilangan dan uji tanda pada setiap interval. Ingat, karena $x = 0$ adalah akar ganda, tandanya tidak berubah di sekitarnya. Karena itu, kita akan memilih nilai uji coba di setiap interval, misalnya:

• $x < -3$: Pilih $x = -4$. Maka, $\frac{-(-4)^3 + 3(-4)^2 + 4(-4) + 3}{(-4)^2(-4+3)} = \frac{115}{-16} < 0$ (memenuhi).
• $-3 < x < -1$: Pilih $x = -2$. Maka, $\frac{-(-2)^3 + 3(-2)^2 + 4(-2) + 3}{(-2)^2(-2+3)} = \frac{11}{4} > 0$ (tidak memenuhi).
• $-1 < x < 0$: Pilih $x = -0.5$. Maka, $\frac{-(-0.5)^3 + 3(-0.5)^2 + 4(-0.5) + 3}{(-0.5)^2(-0.5+3)} = \frac{1.625}{0.625} > 0$ (tidak memenuhi).
• $0 < x < 2 - \sqrt{7}$: Pilih $x = 1$. Maka, $\frac{-(1)^3 + 3(1)^2 + 4(1) + 3}{(1)^2(1+3)} = \frac{9}{4} > 0$ (tidak memenuhi).
• $2 - \sqrt{7} < x < 2 + \sqrt{7}$: Pilih $x = 2$. Maka, $\frac{-(2)^3 + 3(2)^2 + 4(2) + 3}{(2)^2(2+3)} = \frac{11}{20} > 0$ (tidak memenuhi).
• $x > 2 + \sqrt{7}$: Pilih $x = 4$. Maka, $\frac{-(4)^3 + 3(4)^2 + 4(4) + 3}{(4)^2(4+3)} = \frac{-15}{112} < 0$ (memenuhi).

Langkah 4: Menentukan Solusi

Berdasarkan hasil pengujian, solusi pertidaksamaan adalah:

$x < -3$ atau $-1 \leq x < 0$ atau $x > 2 + \sqrt{7}$

Ingat bahwa $x$ tidak boleh sama dengan $-3$ dan $x$ tidak boleh sama dengan 0. Selain itu, perhatikan perubahan tanda di sekitar akar ganda.

d. Pertidaksamaan Nilai Mutlak: $x|x| \leq |x-2|$

Terakhir, kita akan membahas pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Soal ini membutuhkan pemahaman yang baik tentang definisi nilai mutlak. Yuk, kita mulai!

Langkah 1: Memahami Definisi Nilai Mutlak

Ingat kembali definisi nilai mutlak:

• $|x| = x$, jika $x \geq 0$
• $|x| = -x$, jika $x < 0$

Kita perlu mempertimbangkan kasus-kasus berdasarkan definisi ini.

Langkah 2: Memecah Kasus

Kita pecah menjadi tiga kasus berdasarkan tanda $x$ dan $x - 2$:

• Kasus 1: $x \geq 0$ dan $x - 2 \geq 0$ (atau $x \geq 2$) Dalam kasus ini, $|x| = x$ dan $|x - 2| = x - 2$. Pertidaksamaan menjadi:

  $x \cdot x \leq x - 2$ $x^2 \leq x - 2$ $x^2 - x + 2 \leq 0$

  Kita cari akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - x + 2 = 0$. Menggunakan rumus abc, kita dapatkan diskriminan $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$. Karena diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Selain itu, karena koefisien $x^2$ positif, parabola terbuka ke atas. Artinya, $x^2 - x + 2$ selalu positif. Jadi, tidak ada solusi pada kasus ini.

• Kasus 2: $x \geq 0$ dan $x - 2 < 0$ (atau $0 \leq x < 2$) Dalam kasus ini, $|x| = x$ dan $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Pertidaksamaan menjadi:

  $x \cdot x \leq 2 - x$ $x^2 \leq 2 - x$ $x^2 + x - 2 \leq 0$

  Kita cari akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + x - 2 = 0$. Kita faktorkan menjadi $(x + 2)(x - 1) = 0$. Jadi, $x = -2$ atau $x = 1$. Karena koefisien $x^2$ positif, parabola terbuka ke atas. Maka, nilai $x^2 + x - 2 \leq 0$ berada di antara akar-akar. Jadi, $-2 \leq x \leq 1$. Namun, kita harus mempertimbangkan batasan $0 \leq x < 2$. Irisan dari kedua solusi ini adalah $0 \leq x \leq 1$.

• Kasus 3: $x < 0$ dan $x - 2 < 0$ (atau $x < 0$) Dalam kasus ini, $|x| = -x$ dan $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Pertidaksamaan menjadi:

  $x \cdot (-x) \leq 2 - x$ $-x^2 \leq 2 - x$ $x^2 - x + 2 \geq 0$

  Seperti pada Kasus 1, persamaan kuadrat $x^2 - x + 2 = 0$ tidak memiliki akar real (diskriminan negatif) dan parabola terbuka ke atas. Artinya, $x^2 - x + 2$ selalu positif. Jadi, semua nilai $x$ memenuhi pertidaksamaan pada kasus ini. Kita harus mempertimbangkan batasan $x < 0$. Maka, semua nilai $x < 0$ adalah solusi.

Langkah 3: Menggabungkan Solusi

Kita gabungkan solusi dari semua kasus. Solusi dari Kasus 2 adalah $0 \leq x \leq 1$, dan solusi dari Kasus 3 adalah $x < 0$. Jadi, solusi gabungannya adalah:

$x \leq 1$

Kesimpulan: Solusi dari pertidaksamaan $x|x| \leq |x-2|$ adalah $x \leq 1$. Pastikan untuk selalu memeriksa kembali perhitungan dan langkah-langkah Anda. Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas. Semangat terus belajarnya, guys! Dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai materi ini. Good luck!