Solusi SPL Dengan Invers Matriks & Eliminasi Gauss-Jordan

Oct 17, 2025 by ADMIN 58 views

Mencari Solusi SPL dengan Invers Matriks dan Eliminasi Gauss-Jordan

Kalian pernah gak sih, ketemu soal matematika yang kelihatannya rumit banget, tapi ternyata ada cara simpel buat nyelesaiinnya? Nah, kali ini kita bakal bahas cara mencari solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan menggunakan invers matriks dan Eliminasi Gauss-Jordan. Kedengarannya mungkin agak fancy, tapi tenang aja, kita bakal bahas ini step by step biar kalian semua paham!

Apa itu Sistem Persamaan Linear (SPL)?

Sebelum kita masuk ke invers matriks, kita pahami dulu apa itu SPL. SPL itu sederhananya adalah kumpulan persamaan linear yang punya beberapa variabel. Misalnya, kayak soal yang dikasih di awal tadi:

\begin{cases}
 x+y+z=6 \\
 2x+3y+z= 12 \\
 x+2y+2z = 10
\end{cases}

Di sini, kita punya tiga persamaan dengan tiga variabel: x, y, dan z. Tujuan kita adalah mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut. Ada banyak cara buat nyelesaiin SPL, salah satunya adalah dengan menggunakan invers matriks yang bakal kita bahas ini.

Representasi Matriks dari SPL

Langkah pertama, kita ubah dulu SPL kita ke dalam bentuk matriks. Caranya gimana? Gampang kok! Kita ambil koefisien dari masing-masing variabel dan konstanta di ruas kanan, lalu susun jadi matriks. Dari SPL di atas, kita bisa dapat:

Matriks Koefisien (A): Matriks yang isinya koefisien dari variabel x, y, dan z.
```
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}
```
Matriks Variabel (X): Matriks kolom yang isinya variabel x, y, dan z.
```
X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
```
Matriks Konstanta (B): Matriks kolom yang isinya konstanta di ruas kanan.
```
B = \begin{bmatrix} 6 \\ 12 \\ 10 \end{bmatrix}
```

Nah, sekarang SPL kita bisa kita tulis dalam bentuk matriks seperti ini:

AX = B

Mencari Invers Matriks (A⁻¹)

Invers matriks itu apa sih? Singkatnya, invers matriks (A⁻¹) adalah matriks yang kalau dikalikan dengan matriks aslinya (A), hasilnya adalah matriks identitas (I). Matriks identitas itu matriks yang diagonal utamanya isinya 1, dan elemen lainnya 0.

A * A⁻¹ = I

Kenapa kita perlu invers matriks? Karena dengan invers matriks, kita bisa nyelesaiin SPL kita! Caranya, kita kalikan kedua sisi persamaan AX = B dengan A⁻¹ dari kiri:

A⁻¹ * AX = A⁻¹ * B

Karena A⁻¹ * A = I, maka:

IX = A⁻¹ * B

Karena matriks identitas dikalikan matriks apapun hasilnya matriks itu sendiri, maka:

X = A⁻¹ * B

Nah, dari sini kita keliatan kan, buat nyari matriks X (yang isinya nilai x, y, dan z), kita cuma perlu nyari invers matriks A (A⁻¹), lalu kalikan dengan matriks B. Simpel kan?

Menghitung Invers Matriks dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Oke, sekarang pertanyaannya, gimana cara nyari invers matriks (A⁻¹)? Ada beberapa cara, salah satunya yang bakal kita bahas di sini adalah dengan Eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini cukup ampuh dan banyak dipake buat nyari invers matriks.

Eliminasi Gauss-Jordan itu intinya adalah mengubah matriks A menjadi matriks identitas (I) dengan serangkaian operasi baris elementer (OBE). Operasi baris elementer itu apa aja? Ada tiga:

Menukar dua baris.
Mengalikan suatu baris dengan konstanta bukan nol.
Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari Invers Matriks:

Buat Matriks Gabungan: Gabungkan matriks A dengan matriks identitas (I) yang ukurannya sama. Kita sebut ini matriks gabungan (A|I).
```
(A|I) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
```
Lakukan Operasi Baris Elementer (OBE): Lakukan OBE pada matriks gabungan (A|I) sampai bagian matriks A berubah menjadi matriks identitas (I). Operasi yang sama juga harus dilakukan pada bagian matriks identitas (I) di sebelah kanan.
Hasil Invers: Setelah bagian matriks A jadi matriks identitas (I), maka bagian matriks identitas (I) di sebelah kanan akan berubah menjadi invers matriks A (A⁻¹).
```
(I|A⁻¹) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& ... & ... & ... \\ 0 & 1 & 0 &|& ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 1 &|& ... & ... & ... \end{bmatrix}
```

Oke, biar lebih jelas, kita langsung terapin aja ke soal kita. Matriks A kita tadi:

 A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}

Kita buat matriks gabungannya:

(A|I) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Sekarang, kita lakukan OBE. Tujuan kita adalah mengubah bagian kiri jadi matriks identitas. Ini dia langkah-langkahnya (mungkin agak panjang, tapi ikutin pelan-pelan ya!):

Kurangi Baris 2 dengan 2 kali Baris 1 (B2 - 2B1):

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Kurangi Baris 3 dengan Baris 1 (B3 - B1):

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Kurangi Baris 1 dengan Baris 2 (B1 - B2):

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 &|& 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Kurangi Baris 3 dengan Baris 2 (B3 - B2):

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 &|& 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 &|& 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Bagi Baris 3 dengan 2 (B3 / 2):

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 &|& 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix}

Kurangi Baris 1 dengan 2 kali Baris 3 (B1 - 2B3):

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix}

Tambahkan Baris 2 dengan Baris 3 (B2 + B3):

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &|& -3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix}

Nah, akhirnya kita dapat invers matriks A (A⁻¹)!

 A⁻¹ = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix}

Mencari Solusi SPL

Setelah dapat invers matriks A (A⁻¹), kita bisa langsung cari solusi SPL kita dengan rumus:

X = A⁻¹ * B

Kita udah punya A⁻¹ dan B, jadi tinggal kita kalikan aja:

X = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 6 \\ 12 \\ 10 \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} (2*6) + (0*12) + (-1*10) \\ (-3/2*6) + (1/2*12) + (1/2*10) \\ (1/2*6) + (-1/2*12) + (1/2*10) \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} 12 + 0 - 10 \\ -9 + 6 + 5 \\ 3 - 6 + 5 \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}

Jadi, kita dapat solusinya:

x = 2
y = 2
z = 2

Kesimpulan

Guys, gitu deh cara nyelesaiin Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan menggunakan invers matriks dan Eliminasi Gauss-Jordan. Emang sih, langkahnya lumayan panjang, tapi kalau kalian ikutin step by step, pasti bisa kok! Yang penting, pahami konsepnya, lalu latihan terus biar makin lancar. Selamat mencoba dan semoga sukses!