Solusi SPL Homogen: Dimensi Dan Basis Ruang Solusi

Hay guys! Kali ini kita akan membahas cara menentukan dimensi dan basis untuk ruang solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) homogen. Soalnya adalah sebagai berikut:

$3x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$5x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 0$

Penasaran kan? Yuk, langsung aja kita bahas!

Langkah 1: Menyusun Matriks dari SPL

Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menyusun matriks koefisien dari SPL homogen tersebut. Matriks ini akan membantu kita dalam melakukan operasi baris elementer untuk mencari bentuk eselon baris tereduksi. Dari SPL yang diberikan, kita dapat menyusun matriks sebagai berikut:

$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \ 5 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

Matriks ini terdiri dari dua baris yang merepresentasikan kedua persamaan dalam SPL, dan empat kolom yang merepresentasikan koefisien dari variabel $x_1, x_2, x_3$, dan $x_4$. Sekarang, mari kita lanjutkan ke langkah berikutnya, yaitu melakukan operasi baris elementer.

Langkah 2: Melakukan Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) adalah serangkaian operasi yang dilakukan pada baris-baris matriks untuk mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana. Tujuan kita adalah mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi, di mana setiap baris memiliki leading 1 (angka 1 pertama yang bukan nol) dan semua elemen di atas dan di bawah leading 1 adalah nol.

Mari kita mulai dengan matriks kita:

$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \ 5 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1. Langkah 1: Kita ingin membuat leading 1 pada baris pertama. Bagi baris pertama dengan 3:

   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 5 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2. Langkah 2: Sekarang, kita ingin membuat elemen di bawah leading 1 (yaitu angka 5) menjadi nol. Kurangkan 5 kali baris pertama dari baris kedua:

   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{8}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{8}{3} \end{bmatrix}$

3. Langkah 3: Selanjutnya, kita ingin membuat leading 1 pada baris kedua. Bagi baris kedua dengan -8/3:

   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 1 \end{bmatrix}$

4. Langkah 4: Terakhir, kita ingin membuat elemen di atas leading 1 pada baris kedua (yaitu 1/3) menjadi nol. Kurangkan 1/3 kali baris kedua dari baris pertama:

   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 1 \end{bmatrix}$

Sekarang kita memiliki matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Bentuk matriks ini akan memudahkan kita untuk menentukan solusi dari SPL.

Langkah 3: Menentukan Variabel Bebas dan Variabel Terikat

Setelah mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi, kita bisa menentukan variabel bebas dan variabel terikat. Variabel terikat adalah variabel yang memiliki leading 1 pada matriks, sedangkan variabel bebas adalah variabel yang tidak memiliki leading 1.

Dari matriks eselon baris tereduksi:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 1 \end{bmatrix}$

Kita dapat melihat bahwa:

• $x_1$ dan $x_2$ adalah variabel terikat (karena kolom pertama dan kedua memiliki leading 1).
• $x_3$ dan $x_4$ adalah variabel bebas (karena kolom ketiga dan keempat tidak memiliki leading 1).

Ini berarti kita dapat mengekspresikan $x_1$ dan $x_2$ dalam bentuk $x_3$ dan $x_4$.

Langkah 4: Menyatakan Solusi Umum

Sekarang kita akan menyatakan solusi umum dari SPL. Dari matriks eselon baris tereduksi, kita dapat menuliskan persamaan berikut:

• $x_1 + \frac{1}{4}x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{4}x_3$
• $x_2 + \frac{1}{4}x_3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{4}x_3 - x_4$

Karena $x_3$ dan $x_4$ adalah variabel bebas, kita bisa menyatakan mereka sebagai parameter. Misalkan $x_3 = s$ dan $x_4 = t$, maka solusi umum dari SPL adalah:

• $x_1 = -\frac{1}{4}s$
• $x_2 = -\frac{1}{4}s - t$
• $x_3 = s$
• $x_4 = t$

Kita dapat menuliskan solusi ini dalam bentuk vektor sebagai berikut:

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

Langkah 5: Menentukan Basis dan Dimensi Ruang Solusi

Dari solusi umum yang kita dapatkan, kita bisa menentukan basis dan dimensi ruang solusi.

Basis ruang solusi adalah himpunan vektor-vektor yang merentang ruang solusi dan linearly independent. Dalam kasus ini, vektor-vektor yang merentang ruang solusi adalah:

$\begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

Kedua vektor ini linearly independent (tidak ada satu vektor yang merupakan kelipatan dari vektor lainnya), sehingga mereka membentuk basis untuk ruang solusi.

Dimensi ruang solusi adalah jumlah vektor dalam basis. Karena kita memiliki dua vektor dalam basis, maka dimensi ruang solusi adalah 2.

Jadi, kesimpulannya:

• Dimensi ruang solusi: 2
• Basis ruang solusi: $\{\begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

Kesimpulan

Nah, itu dia guys! Kita sudah berhasil menentukan dimensi dan basis untuk ruang solusi dari SPL homogen yang diberikan. Prosesnya melibatkan penyusunan matriks, melakukan operasi baris elementer, menentukan variabel bebas dan terikat, menyatakan solusi umum, dan akhirnya menentukan basis dan dimensi ruang solusi. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan mudah dipahami ya! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Selamat belajar!