Solusi SPLTV: 2x+5y-3z=3, 6x+8y-5z=7, -3x+3y+4z=15

Oct 17, 2025 by ADMIN 51 views

Mencari Himpunan Penyelesaian SPLTV: Panduan Lengkap

Hay guys! Kali ini kita akan membahas cara mencari himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). SPLTV ini sering banget muncul di soal-soal matematika, jadi penting banget buat kita paham betul cara menyelesaikannya. So, stay tuned ya!

Apa Itu SPLTV?

Sebelum kita masuk ke cara penyelesaian, kita kenalan dulu yuk sama SPLTV. SPLTV atau Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah kumpulan persamaan linear yang memiliki tiga variabel, biasanya dilambangkan dengan x, y, dan z. Bentuk umumnya seperti ini nih:

ax + by + cz = d
px + qy + rz = e
sx + ty + uz = f

Dimana a, b, c, p, q, r, s, t, u, d, e, dan f adalah konstanta. Nah, tujuan kita adalah mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara bersamaan. Himpunan nilai x, y, dan z inilah yang disebut sebagai himpunan penyelesaian SPLTV.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan SPLTV. Diantaranya adalah metode substitusi, metode eliminasi, dan metode campuran (gabungan substitusi dan eliminasi). Kita bahas satu per satu yuk!

1. Metode Substitusi

Metode substitusi ini intinya adalah mengganti (mensubstitusikan) salah satu variabel dengan persamaan lain. Langkah-langkahnya adalah:

Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, lalu nyatakan salah satu variabel sebagai fungsi dari dua variabel lainnya. Misalnya, dari persamaan pertama (ax + by + cz = d), kita bisa nyatakan x sebagai:

x = (d - by - cz) / a

2.  Substitusikan (gantikan) nilai x yang sudah kita dapatkan ke dalam dua persamaan lainnya.
3.  Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (misalnya y dan z). Selesaikan sistem persamaan dua variabel ini dengan metode substitusi atau eliminasi (yang akan kita bahas selanjutnya).
4.  Setelah mendapatkan nilai salah satu variabel (misalnya y), substitusikan nilai y tersebut ke salah satu persamaan dua variabel untuk mendapatkan nilai variabel lainnya (z).
5.  Terakhir, substitusikan nilai y dan z yang sudah kita dapatkan ke persamaan awal untuk mendapatkan nilai x.

**Contoh Soal:**

Misalkan kita punya SPLTV berikut:

x + y + z = 6 (Persamaan 1) 2x - y + z = 3 (Persamaan 2) x + 2y - z = 2 (Persamaan 3)


Dari Persamaan 1, kita bisa nyatakan x sebagai:

x = 6 - y - z


Substitusikan nilai x ini ke Persamaan 2 dan 3:

Persamaan 2:

2(6 - y - z) - y + z = 3 12 - 2y - 2z - y + z = 3 -3y - z = -9 (Persamaan 4)


Persamaan 3:

(6 - y - z) + 2y - z = 2 y - 2z = -4 (Persamaan 5)


Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (y dan z): Persamaan 4 dan 5.

Kita bisa selesaikan sistem persamaan ini dengan substitusi lagi. Dari Persamaan 5, kita bisa nyatakan y sebagai:

y = 2z - 4


Substitusikan nilai y ini ke Persamaan 4:

-3(2z - 4) - z = -9 -6z + 12 - z = -9 -7z = -21 z = 3


Setelah dapat nilai z = 3, substitusikan ke Persamaan 5 untuk dapat nilai y:

y = 2(3) - 4 y = 2


Terakhir, substitusikan nilai y = 2 dan z = 3 ke Persamaan x = 6 - y - z untuk dapat nilai x:

x = 6 - 2 - 3 x = 1


Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV ini adalah x = 1, y = 2, dan z = 3, atau bisa kita tulis sebagai {(1, 2, 3)}.

### 2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi ini fokus pada menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan persamaan-persamaan yang sudah dimodifikasi. Langkah-langkahnya:

1.  Pilih dua persamaan dari SPLTV. Kalikan masing-masing persamaan dengan konstanta tertentu sehingga koefisien salah satu variabel (misalnya x) pada kedua persamaan menjadi sama atau berlawanan.
2.  Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan tersebut. Jika koefisien x sama, kita kurangkan. Jika koefisien x berlawanan tanda, kita jumlahkan. Tujuannya adalah menghilangkan variabel x.
3.  Ulangi langkah 1 dan 2 untuk pasangan persamaan lain (misalnya persamaan pertama dan ketiga) sehingga kita mendapatkan dua persamaan baru dengan dua variabel (misalnya y dan z).
4.  Selesaikan sistem persamaan dua variabel ini dengan metode eliminasi atau substitusi.
5.  Setelah mendapatkan nilai dua variabel, substitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel yang ketiga.

**Contoh Soal:**

Kita pakai SPLTV yang sama seperti contoh sebelumnya:

x + y + z = 6 (Persamaan 1) 2x - y + z = 3 (Persamaan 2) x + 2y - z = 2 (Persamaan 3)


Kita eliminasi x dari Persamaan 1 dan 2. Kalikan Persamaan 1 dengan 2:

2x + 2y + 2z = 12 (Persamaan 4)


Kurangkan Persamaan 4 dengan Persamaan 2:

(2x + 2y + 2z) - (2x - y + z) = 12 - 3 3y + z = 9 (Persamaan 5)


Sekarang kita eliminasi x dari Persamaan 1 dan 3. Karena koefisien x sudah sama, kita langsung kurangkan:

(x + y + z) - (x + 2y - z) = 6 - 2 -y + 2z = 4 (Persamaan 6)


Kita punya dua persamaan dengan dua variabel (y dan z): Persamaan 5 dan 6.

Kita eliminasi y dari Persamaan 5 dan 6. Kalikan Persamaan 6 dengan 3:

-3y + 6z = 12 (Persamaan 7)


Jumlahkan Persamaan 5 dan 7:

(3y + z) + (-3y + 6z) = 9 + 12 7z = 21 z = 3


Substitusikan nilai z = 3 ke Persamaan 5:

3y + 3 = 9 3y = 6 y = 2


Substitusikan nilai y = 2 dan z = 3 ke Persamaan 1:

x + 2 + 3 = 6 x = 1


Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV ini adalah x = 1, y = 2, dan z = 3, sama seperti metode substitusi.

### 3. Metode Campuran (Substitusi dan Eliminasi)

Metode ini adalah gabungan dari metode substitusi dan eliminasi. Kita bisa pakai metode eliminasi dulu untuk menyederhanakan persamaan, lalu pakai substitusi untuk mendapatkan nilai variabelnya, atau sebaliknya. Metode ini seringkali lebih efisien karena kita bisa memilih langkah yang paling mudah.

**Contoh Soal:**

Kita masih pakai SPLTV yang sama:

x + y + z = 6 (Persamaan 1) 2x - y + z = 3 (Persamaan 2) x + 2y - z = 2 (Persamaan 3)


Kita eliminasi x dari Persamaan 1 dan 2, seperti pada contoh metode eliminasi, dan dapat Persamaan 5:

3y + z = 9 (Persamaan 5)


Kita eliminasi x dari Persamaan 1 dan 3, seperti pada contoh metode eliminasi, dan dapat Persamaan 6:

-y + 2z = 4 (Persamaan 6)


Nah, sampai sini kita sudah pakai metode eliminasi. Sekarang kita pakai metode substitusi. Dari Persamaan 6, kita bisa nyatakan y sebagai:

y = 2z - 4


Substitusikan nilai y ini ke Persamaan 5:

3(2z - 4) + z = 9 6z - 12 + z = 9 7z = 21 z = 3


Setelah dapat nilai z = 3, substitusikan ke y = 2z - 4:

y = 2(3) - 4 y = 2


Terakhir, substitusikan nilai y = 2 dan z = 3 ke Persamaan 1:

x + 2 + 3 = 6 x = 1


Sama kan hasilnya? Himpunan penyelesaian SPLTV ini tetap x = 1, y = 2, dan z = 3.

## Tips dan Trik Menyelesaikan SPLTV

*   **Pilih metode yang paling mudah:** Setiap soal SPLTV punya karakteristik sendiri. Kadang metode substitusi lebih mudah, kadang metode eliminasi, kadang metode campuran. Coba lihat koefisien variabelnya, lalu pilih metode yang kira-kira paling sedikit perhitungannya.
*   **Teliti dalam perhitungan:** SPLTV ini melibatkan banyak perhitungan. Jadi, pastikan kamu teliti dalam menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan membagi. Salah sedikit aja, hasilnya bisa beda jauh.
*   **Cek jawaban:** Setelah dapat himpunan penyelesaian, jangan lupa dicek lagi. Substitusikan nilai x, y, dan z ke semua persamaan awal. Kalau semuanya cocok, berarti jawabanmu benar.

## Contoh Soal dan Pembahasan

Oke, biar makin mantap, kita bahas satu contoh soal lagi yuk!

**Soal:**

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut:

2x + y - z = 5 (Persamaan 1) x - 2y + 3z = -4 (Persamaan 2) 3x + y + 2z = 7 (Persamaan 3)


**Pembahasan:**

Kita pakai metode campuran aja ya. Pertama, kita eliminasi y dari Persamaan 1 dan 3. Karena koefisien y sudah sama, kita langsung kurangkan:

(2x + y - z) - (3x + y + 2z) = 5 - 7 -x - 3z = -2 (Persamaan 4)


Sekarang kita eliminasi y dari Persamaan 1 dan 2. Kalikan Persamaan 1 dengan 2:

4x + 2y - 2z = 10 (Persamaan 5)


Jumlahkan Persamaan 5 dengan Persamaan 2:

(4x + 2y - 2z) + (x - 2y + 3z) = 10 + (-4) 5x + z = 6 (Persamaan 6)


Kita punya dua persamaan dengan dua variabel (x dan z): Persamaan 4 dan 6.

Kita eliminasi z dari Persamaan 4 dan 6. Kalikan Persamaan 6 dengan 3:

15x + 3z = 18 (Persamaan 7)


Jumlahkan Persamaan 4 dan 7:

(-x - 3z) + (15x + 3z) = -2 + 18 14x = 16 x = 8/7


Substitusikan nilai x = 8/7 ke Persamaan 6:

5(8/7) + z = 6 40/7 + z = 6 z = 2/7


Substitusikan nilai x = 8/7 dan z = 2/7 ke Persamaan 1:

2(8/7) + y - 2/7 = 5 16/7 + y - 2/7 = 5 y = 21/7 y = 3


Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV ini adalah x = 8/7, y = 3, dan z = 2/7, atau bisa kita tulis sebagai {(8/7, 3, 2/7)}.

## Kesimpulan

Nah, itu dia guys, cara mencari himpunan penyelesaian SPLTV. Ada tiga metode utama yang bisa kita gunakan: substitusi, eliminasi, dan campuran. Pilih metode yang paling mudah, teliti dalam perhitungan, dan jangan lupa cek jawabanmu. Semoga panduan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya di kolom komentar. Semangat belajar!