Transformasi Dilatasi Lingkaran: Rumus & Contoh

Oct 21, 2025 by ADMIN 48 views

Halo, guys! Pernah kepikiran nggak sih, gimana jadinya kalau sebuah lingkaran kita 'perbesar' atau 'perkecil' pakai transformasi dilatasi? Nah, di artikel kali ini, kita bakal bedah tuntas soal persamaan bayangan lingkaran oleh transformasi dilatasi. Kita akan mulai dari konsep dasarnya, rumus-rumusnya, sampai ke contoh soal yang sering banget keluar, biar kamu makin jago matematika!

Memahami Transformasi Dilatasi pada Lingkaran

Jadi gini, guys, transformasi dilatasi itu ibarat kita pakai kaca pembesar atau pengecil. Objeknya bisa jadi makin besar atau makin kecil, tapi bentuknya tetap sama. Kalo di lingkaran, dilatasi itu intinya mengubah ukuran lingkaran tanpa mengubah bentuknya. Titik pusat dilatasi dan faktor skala itu kunci utamanya. Faktor skala, yang biasa dilambangkan dengan k, itu yang menentukan seberapa besar atau kecil bayangan lingkaran nanti. Kalo k lebih dari 1, lingkaran jadi lebih besar. Kalo k di antara 0 dan 1, lingkaran jadi lebih kecil. Kalo k negatif, bayangannya bakal ada di sisi berlawanan dari pusat dilatasi, tapi ukurannya tetap ngikutin nilai mutlak k.

Sekarang, bayangin kita punya lingkaran awal. Kalo kita lakukan dilatasi, semua titik di lingkaran itu akan 'tertarik' atau 'terdorong' menjauh atau mendekat ke pusat dilatasi, sesuai dengan faktor skalanya. Ini berarti, jarak setiap titik dari pusat dilatasi akan dikalikan dengan faktor skala k. Nah, kalo pusat dilatasi ada di titik asal (0,0), ini jadi lebih gampang. Setiap koordinat (x, y) pada lingkaran awal akan berubah jadi (kx, ky) pada bayangannya. Tapi, kalo pusat dilatasinya bukan di (0,0), misalnya di (a,b), rumusnya sedikit beda. Koordinat titik (x,y) bakal berubah jadi (a + k(x-a), b + k(y-b)). Ini penting banget diingat, biar nggak salah rumus pas ngerjain soal, ya!

Trus, gimana hubungannya sama persamaan lingkaran? Persamaan lingkaran kan biasanya bentuknya $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ , di mana (h,k) itu pusat lingkaran dan r itu jari-jarinya. Waktu kita lakukan dilatasi, pusat dan jari-jari lingkaran itu akan berubah. Pusat bayangannya itu hasil transformasi dari pusat lingkaran awal, dan jari-jari bayangannya adalah jari-jari awal dikali dengan nilai mutlak faktor skala k. Jadi, kalo pusat lingkaran awal di (h,k) dan didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala k, pusat bayangannya jadi $(kh, kk)$ dan jari-jari bayangannya jadi $|k|r$ . Persamaan bayangannya nanti jadi $(x - kh)^2 + (y - kk)^2 = (|k|r)^2$ . Nah, ini yang perlu banget kamu pahami sebelum masuk ke contoh soal. Mengerti konsep dasar ini bakal bikin kamu lebih pede ngerjain soal-soal transformasi geometri, terutama yang berhubungan sama dilatasi lingkaran.

Ingat lagi, guys, konsep inti dari dilatasi adalah penskalaan. Jarak dari pusat dilatasi ke titik manapun pada objek akan diskalakan dengan faktor k. Jika pusat dilatasi adalah titik asal O(0,0) dan faktor skalanya adalah k, maka setiap titik P(x,y) akan ditransformasi menjadi P'(kx, ky). Ini adalah aturan dasar yang harus kamu ingat. Untuk lingkaran, ini berarti pusat lingkaran juga ikut ter-dilatasi, dan jari-jarinya akan berubah sebesar faktor skala. Kalau pusat lingkaran awal adalah $(x_0, y_0)$ dan jari-jarinya adalah r, maka setelah dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k, pusat bayangan akan menjadi $(kx_0, ky_0)$ dan jari-jari bayangan akan menjadi $|k|r$ . Persamaan lingkaran bayangannya akan menjadi $(x - kx_0)^2 + (y - ky_0)^2 = (|k|r)^2$ . Memahami ini akan membantu kamu saat menganalisis soal.

Rumus Persamaan Bayangan Lingkaran Akibat Dilatasi

Nah, sekarang kita masuk ke bagian yang paling penting, yaitu rumusnya, guys! Ada dua skenario utama nih, tergantung di mana pusat dilatasinya.

1. Dilatasi dengan Pusat di Titik Asal O(0,0)

Ini skenario yang paling sering muncul dan paling gampang. Kalo kita punya lingkaran dengan persamaan $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ , dan kita lakukan dilatasi dengan pusat di $(0,0)$ dan faktor skala k, maka:

Pusat lingkaran bayangan akan berada di $(kh, kk)$ .
Jari-jari lingkaran bayangan akan menjadi $r' = |k|r$ .

Jadi, persamaan bayangan lingkaran setelah dilatasi adalah:

(x - kh)^2 + (y - kk)^2 = (|k|r)^2

Atau bisa juga ditulis sebagai:

x^2 + y^2 = (kr)^2

Jika pusat lingkaran awalnya adalah titik asal $(0,0)$ , alias $h=0$ dan $k=0$ . Persamaan lingkaran awal adalah $x^2 + y^2 = r^2$ . Setelah dilatasi dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$ , persamaan bayangannya menjadi $(kx)^2 + (ky)^2 = r^2$ , yang bisa disederhanakan menjadi $k^2x^2 + k^2y^2 = r^2$ , atau $x^2 + y^2 = rac{r^2}{k^2}$ . Atau jika kita ubah bentuknya, $k^2(x^2 + y^2) = r^2$ . Kadang juga, bayangan titik $(x,y)$ diubah menjadi $(x', y') = (kx, ky)$ , sehingga $x = x'/k$ dan $y = y'/k$ . Kalau disubstitusikan ke $x^2+y^2=r^2$ , jadi $(x'/k)^2 + (y'/k)^2 = r^2$ , yang menghasilkan $rac{x'^2}{k^2} + rac{y'^2}{k^2} = r^2$ , atau $x'^2 + y'^2 = k^2r^2$ . Ini lebih intuitif, karena jari-jari bayangan menjadi $kr$ . Jadi, kalo persamaan bayangannya ditulis ulang tanpa aksen, $x^2 + y^2 = (kr)^2$ .

Perhatikan baik-baik, guys. Jika persamaan awal lingkaran adalah $x^2 + y^2 = r^2$ , maka setelah dilatasi dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$ , kita bisa cari bayangannya dengan cara mensubstitusikan $x$ dengan $x/k$ dan $y$ dengan $y/k$ . Jadi, $(x/k)^2 + (y/k)^2 = r^2$ , yang menghasilkan $rac{x^2}{k^2} + rac{y^2}{k^2} = r^2$ . Kalau kita kalikan kedua sisi dengan $k^2$ , kita dapatkan $x^2 + y^2 = k^2r^2$ . Ini adalah rumus yang paling umum digunakan ketika pusat dilatasinya adalah titik asal.

2. Dilatasi dengan Pusat di P(a,b)

Nah, kalo pusat dilatasinya bukan di $(0,0)$ , tapi di titik $(a,b)$ , rumusnya jadi sedikit lebih kompleks. Misalkan titik asal lingkaran itu $(h, k)$ dan jari-jarinya r. Setelah dilatasi dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$ , maka:

Pusat lingkaran bayangan $(h', k')$ dihitung dengan mengubah pusat $(h, k)$ menjadi relatif terhadap pusat dilatasi $(a, b)$ , lalu dikalikan $k$ , dan dikembalikan lagi: $h' = a + k(h-a)$ $k' = b + k(k-b)$
Jari-jari lingkaran bayangan $r'$ tetap sama dengan sebelumnya, yaitu $r' = |k|r$ .

Jadi, persamaan bayangan lingkaran setelah dilatasi adalah:

(x - h')^2 + (y - k')^2 = (r')^2

Atau kalau disubstitusikan nilai $h'$ dan $k'$ :

(x - (a + k(h-a)))^2 + (y - (b + k(k-b)))^2 = (|k|r)^2

Rumus ini mungkin kelihatan panjang, tapi kalau kamu pahami konsepnya, yaitu memindahkan pusat ke $(0,0)$ dulu, melakukan dilatasi, lalu memindahkannya kembali, akan lebih mudah dipahami. Pahami dulu posisi pusat lingkaran relatif terhadap pusat dilatasi, baru terapkan faktor skalanya.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin mantap, yuk kita coba kerjakan contoh soal yang mirip dengan yang kamu berikan. Soalnya adalah mencari persamaan bayangan dari lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ oleh transformasi dilatasi $[0, 2]$ . Ini artinya, pusat dilatasi ada di titik asal $(0,0)$ dan faktor skalanya adalah $k=2$ . Lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ini punya pusat di $(0,0)$ dan jari-jari $r = ext{akar dari } 25 = 5$ .

Karena pusat dilatasinya di $(0,0)$ , kita bisa pakai rumus yang lebih sederhana. Persamaan lingkaran awal adalah $x^2 + y^2 = r^2$ . Dengan faktor skala $k=2$ , maka jari-jari bayangannya adalah $r' = |k|r = |2| imes 5 = 10$ .

Atau, kita bisa pakai cara substitusi. Dari transformasi dilatasi $[0, 2]$ , kita tahu bahwa titik $(x,y)$ bayangannya adalah $(x', y') = (2x, 2y)$ . Dari sini, kita bisa dapatkan $x = x'/2$ dan $y = y'/2$ . Sekarang, substitusikan $x$ dan $y$ ini ke dalam persamaan lingkaran awal $x^2 + y^2 = 25$ :