Transformasi Geometri: Rotasi, Refleksi, Dan Translasi

by ADMIN 55 views

Yo guys, kali ini kita bakal bahas tuntas tentang transformasi geometri! Pasti udah pada familiar kan sama istilah rotasi, refleksi, dan translasi? Nah, di artikel ini, kita bakal kupas satu per satu, mulai dari konsep dasar sampai contoh soal yang bikin otak mikir keras. Jadi, siapin cemilan, fokus, dan mari kita mulai petualangan seru di dunia geometri!

A. Rotasi Titik A(-3, -5) Sejauh 270° Searah Jarum Jam dengan Pusat P(5, 3)

Oke, kita mulai dengan soal yang pertama, yaitu rotasi titik A(-3, -5) sejauh 270° searah jarum jam dengan pusat P(5, 3). Rotasi ini adalah transformasi yang memutar suatu titik terhadap titik pusat tertentu dengan sudut tertentu. Nah, dalam kasus ini, kita punya titik A yang akan kita putar, pusat rotasi P, dan sudut rotasi 270° searah jarum jam.

Memahami Konsep Rotasi

Sebelum kita masuk ke perhitungan, penting banget buat paham dulu konsep rotasi. Rotasi itu intinya adalah memutar objek atau titik terhadap suatu pusat dengan sudut tertentu. Arah putarannya bisa searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Dalam matematika, rotasi searah jarum jam biasanya dianggap sebagai sudut negatif, sedangkan rotasi berlawanan arah jarum jam dianggap sebagai sudut positif. Jadi, rotasi 270° searah jarum jam itu sama aja dengan rotasi -270°, atau bisa juga kita sebut rotasi 90° berlawanan arah jarum jam (karena 360° - 270° = 90°).

Langkah-langkah Menghitung Rotasi

Sekarang, mari kita pecah langkah-langkah buat menghitung rotasi titik A ini. Ada beberapa cara yang bisa kita pakai, tapi yang paling umum adalah menggunakan matriks transformasi. Berikut langkah-langkahnya:

  1. Translasi Titik A dan Pusat P ke Titik Asal (0, 0): Langkah pertama adalah memindahkan titik A dan pusat P ke titik asal (0, 0). Caranya adalah dengan mengurangi koordinat titik A dan P dengan koordinat pusat P. Jadi, titik A' (bayangan A setelah translasi) akan punya koordinat:

    • x' = x - p = -3 - 5 = -8
    • y' = y - q = -5 - 3 = -8

    Sehingga, A'(-8, -8).

  2. Rotasi Titik A' Sejauh 270°: Sekarang, kita rotasi titik A'(-8, -8) sejauh 270° searah jarum jam. Matriks rotasi untuk sudut θ adalah:

    | cos θ  -sin θ |
| sin θ   cos θ |

    Untuk rotasi 270° (atau -270°), cos(-270°) = 0 dan sin(-270°) = 1. Jadi, matriks rotasinya adalah:

    |  0   -1 |
|  1    0 |

    Kita kalikan matriks rotasi ini dengan koordinat titik A':

    |  0   -1 |   | -8 |
|  1    0 | x | -8 |

    Hasilnya adalah:

    • x'' = (0 * -8) + (-1 * -8) = 8
    • y'' = (1 * -8) + (0 * -8) = -8

    Jadi, titik A'' setelah rotasi adalah (8, -8).

  3. Translasi Balik ke Posisi Awal: Langkah terakhir adalah mengembalikan titik A'' ke posisi semula dengan cara menambahkan koordinat pusat P ke koordinat titik A''.

    • x''' = x'' + p = 8 + 5 = 13
    • y''' = y'' + q = -8 + 3 = -5

    Jadi, hasil rotasi titik A(-3, -5) sejauh 270° searah jarum jam dengan pusat P(5, 3) adalah titik A'''(13, -5).

B. Refleksi Titik B(3, 6) Terhadap Garis y = -x, Kemudian Rotasi 90°

Lanjut ke soal berikutnya, kita punya titik B(3, 6) yang pertama-tama dicerminkan terhadap garis y = -x, lalu dirotasi sejauh 90°. Nah, di sini kita punya dua transformasi yang berurutan, yaitu refleksi (pencerminan) dan rotasi.

Memahami Konsep Refleksi dan Rotasi

Sebelum kita hitung, kita refresh dulu konsepnya ya. Refleksi itu intinya memantulkan suatu objek atau titik terhadap suatu garis atau bidang. Garis atau bidang ini disebut sebagai cermin. Nah, bayangan hasil refleksi ini punya jarak yang sama dengan objek aslinya terhadap cermin, tapi berada di sisi yang berlawanan.

Sedangkan rotasi, seperti yang udah kita bahas sebelumnya, adalah memutar objek atau titik terhadap suatu pusat dengan sudut tertentu.

Langkah-langkah Menghitung Refleksi dan Rotasi

Sekarang, mari kita pecah langkah-langkah untuk soal ini:

  1. Refleksi Terhadap Garis y = -x: Refleksi terhadap garis y = -x itu cukup unik, guys. Jadi, kalau kita punya titik (x, y), bayangannya setelah direfleksikan terhadap garis y = -x adalah (-y, -x). Artinya, kita tinggal tukar posisi x dan y, lalu ubah tandanya jadi negatif. Jadi, kalau titik B kita adalah (3, 6), maka bayangannya B' setelah refleksi adalah (-6, -3).

  2. Rotasi 90°: Selanjutnya, kita rotasi titik B'(-6, -3) sejauh 90°. Nah, rotasi 90° ini juga punya triknya. Kalau kita punya titik (x, y), bayangannya setelah dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam adalah (-y, x). Jadi, kita tukar posisi x dan y, lalu ubah tanda y jadi negatif. Untuk rotasi 90°, matriks transformasinya adalah:

    | cos 90  -sin 90 |
| sin 90   cos 90 |

    Karena cos 90° = 0 dan sin 90° = 1, maka matriksnya jadi:

    |  0   -1 |
|  1    0 |

    Kita kalikan matriks ini dengan koordinat titik B'(-6, -3):

    |  0   -1 |   | -6 |
|  1    0 | x | -3 |

    Hasilnya adalah:

    • x'' = (0 * -6) + (-1 * -3) = 3
    • y'' = (1 * -6) + (0 * -3) = -6

    Jadi, hasil rotasi titik B'(-6, -3) sejauh 90° adalah titik B''(3, -6).

    Dengan kata lain, bayangan titik B(3, 6) setelah direfleksikan terhadap garis y = -x, lalu dirotasi 90° adalah titik B''(3, -6).

C. Refleksi Hasil Poin A Terhadap Garis y = k

Sekarang, kita lanjut ke soal C. Di sini, hasil dari poin A (yaitu titik A'''(13, -5)) akan kita refleksikan terhadap garis y = k. Nah, nilai k ini belum diketahui, jadi kita akan bahas konsepnya secara umum dulu ya.

Memahami Konsep Refleksi Terhadap Garis Horizontal

Refleksi terhadap garis horizontal (y = k) itu intinya mencerminkan titik terhadap garis tersebut. Jadi, jarak titik ke garis akan sama dengan jarak bayangan titik ke garis, tapi posisinya berlawanan. Garis y = k ini adalah garis horizontal yang memotong sumbu y di titik k.

Menentukan Bayangan Hasil Refleksi

Kalau kita punya titik (x, y) yang direfleksikan terhadap garis y = k, maka bayangannya akan punya koordinat (x, 2k - y). Artinya, koordinat x-nya tetap sama, sedangkan koordinat y-nya berubah. Perubahan ini didapatkan dari 2k dikurangi y. Nah, kalau kita terapkan ini ke titik A'''(13, -5), maka bayangannya A'''' akan punya koordinat (13, 2k - (-5)) atau (13, 2k + 5). Jadi, bayangan titik A''' setelah direfleksikan terhadap garis y = k adalah A''''(13, 2k + 5).

D. Translasi Hasil Poin B dengan Pusat yang Sama dengan Poin C

Last but not least, kita bahas soal D. Di sini, hasil dari poin B (yaitu titik B''(3, -6)) akan kita translasikan dengan pusat yang sama dengan poin C. Artinya, pusat translasi kita adalah bayangan hasil refleksi di soal C, yaitu titik A''''(13, 2k + 5).

Memahami Konsep Translasi

Translasi itu adalah pergeseran. Jadi, kita memindahkan titik atau objek dari satu posisi ke posisi lain tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. Translasi ini ditentukan oleh vektor translasi, yang menunjukkan arah dan jarak pergeseran.

Menghitung Hasil Translasi

Kalau kita punya titik (x, y) yang ditranslasikan dengan vektor translasi (a, b), maka bayangannya akan punya koordinat (x + a, y + b). Artinya, kita tinggal menambahkan koordinat x dengan a dan koordinat y dengan b. Nah, dalam kasus ini, titik yang akan kita translasikan adalah B''(3, -6), dan vektor translasinya adalah (13, 2k + 5). Jadi, bayangan titik B'' setelah ditranslasikan, kita sebut saja B''', akan punya koordinat:

  • x''' = 3 + 13 = 16
  • y''' = -6 + (2k + 5) = 2k - 1

Jadi, hasil translasi titik B''(3, -6) dengan pusat A''''(13, 2k + 5) adalah titik B'''(16, 2k - 1).

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, pembahasan lengkap tentang transformasi geometri yang meliputi rotasi, refleksi, dan translasi. Kita udah bahas konsep dasarnya, langkah-langkah perhitungannya, dan juga contoh soal yang cukup menantang. Semoga artikel ini bisa membantu kalian lebih memahami materi transformasi geometri ya! Jangan lupa, matematika itu seru kalau kita mau belajar dan explore lebih dalam. Semangat terus belajarnya! 😉