Transformasi Kurva X-y=4: Persamaan Peta Kurva Terbaru

Oct 15, 2025 by ADMIN 55 views

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik tentang transformasi kurva. Soalnya adalah, sebuah kurva dengan persamaan x-y=4 ditransformasikan berturut-turut dengan matriks $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ . Nah, pertanyaan utamanya adalah, bagaimana persamaan peta kurva setelah ditransformasikan? Penasaran kan? Yuk, kita bedah soal ini sampai tuntas!

Memahami Konsep Transformasi Kurva dengan Matriks

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget nih buat kita memahami dulu konsep dasar transformasi kurva menggunakan matriks. Transformasi geometri, termasuk transformasi kurva, adalah perubahan bentuk atau posisi suatu objek geometri. Dalam kasus ini, objek kita adalah kurva yang persamaannya x-y=4. Transformasi ini dilakukan dengan mengalikan koordinat titik-titik pada kurva dengan matriks transformasi tertentu.

Matriks transformasi sendiri adalah matriks yang digunakan untuk melakukan operasi transformasi linear, seperti translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dilatasi (perkalian ukuran), dan refleksi (pencerminan). Dalam soal ini, kita punya dua matriks transformasi yang akan diterapkan secara berurutan. Artinya, kurva akan ditransformasikan dua kali.

Penting untuk diingat: Urutan transformasi itu krusial, guys! Transformasi dengan matriks A lalu matriks B hasilnya bisa beda banget kalau urutannya dibalik. Jadi, kita harus benar-benar perhatikan urutan matriksnya.

Langkah-Langkah Transformasi Kurva

Secara umum, langkah-langkah untuk mentransformasikan kurva dengan matriks adalah sebagai berikut:

Misalkan titik (x, y) terletak pada kurva awal.
Tuliskan matriks transformasi yang akan digunakan. Dalam soal ini, kita punya dua matriks, jadi kita akan mengalikannya terlebih dahulu.
Kalikan matriks transformasi dengan vektor kolom koordinat (x, y). Hasilnya adalah vektor kolom koordinat baru (x', y') setelah transformasi.
Nyatakan x dan y dalam x' dan y'. Ini penting karena kita akan mensubstitusikan x dan y dalam persamaan kurva awal.
Substitusikan x dan y yang sudah dinyatakan dalam x' dan y' ke dalam persamaan kurva awal. Hasilnya adalah persamaan kurva setelah ditransformasikan (persamaan peta kurva).

Penyelesaian Soal Transformasi Kurva x-y=4

Oke, sekarang kita siap untuk menyelesaikan soal yang tadi. Kita punya kurva dengan persamaan x-y=4, dan dua matriks transformasi: $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ .

1. Menentukan Matriks Transformasi Gabungan

Karena ada dua matriks transformasi yang diterapkan secara berurutan, kita perlu mencari matriks transformasi gabungannya. Caranya adalah dengan mengalikan kedua matriks tersebut. Ingat, urutan perkalian matriks itu penting. Karena transformasi dilakukan berturut-turut dengan matriks $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ terlebih dahulu, lalu $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ , maka matriks transformasi gabungannya adalah:

$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}(1)(1) + (0)(0) & (1)(2) + (0)(1) \\ (0)(1) + (3)(0) & (0)(2) + (3)(1)\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$

Jadi, matriks transformasi gabungannya adalah $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ .

2. Transformasi Titik (x, y)

Misalkan titik (x, y) terletak pada kurva awal x-y=4. Setelah ditransformasikan, titik ini akan menjadi (x', y'). Hubungan antara (x, y) dan (x', y') dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

$\begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}x + 2y \\ 3y\end{bmatrix}$

Dari persamaan matriks di atas, kita dapatkan dua persamaan:

x' = x + 2y
y' = 3y

3. Menyatakan x dan y dalam x' dan y'

Selanjutnya, kita perlu menyatakan x dan y dalam x' dan y'. Dari persamaan y' = 3y, kita dapatkan:

y = y'/3

Substitusikan y = y'/3 ke dalam persamaan x' = x + 2y:

x' = x + 2(y'/3)
x' = x + (2/3)y'
x = x' - (2/3)y'

4. Substitusi ke Persamaan Kurva Awal

Sekarang kita punya x dan y dalam x' dan y'. Kita bisa substitusikan ini ke dalam persamaan kurva awal x-y=4:

(x' - (2/3)y') - (y'/3) = 4
x' - (2/3)y' - (1/3)y' = 4
x' - (3/3)y' = 4
x' - y' = 4

5. Persamaan Peta Kurva

Jadi, persamaan peta kurva setelah ditransformasikan adalah x' - y' = 4. Kita bisa hilangkan tanda ' (aksen) untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk standar:

x - y = 4

Kesimpulan dan Pembahasan Lebih Lanjut

Wah, ternyata setelah ditransformasikan, persamaan kurvanya tetap sama, yaitu x-y=4! Ini menarik, guys. Kenapa ya bisa begitu? Coba kita analisis lebih dalam.

Matriks transformasi $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ sebenarnya merepresentasikan transformasi geser (shear) searah sumbu x. Transformasi geser ini mengubah bentuk kurva, tetapi tidak mengubah garis lurus menjadi garis lurus. Sementara itu, matriks $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ merepresentasikan dilatasi (perkalian ukuran) searah sumbu y dengan faktor skala 3. Dilatasi ini meregangkan kurva searah sumbu y.

Dalam kasus ini, kombinasi transformasi geser dan dilatasi ini menghasilkan kurva yang bentuknya berubah, tetapi persamaan garisnya tetap sama. Ini karena garis x-y=4 memiliki kemiringan 1, dan transformasi yang dilakukan tidak mengubah kemiringan garis secara keseluruhan.

Soal ini memberikan kita pemahaman yang lebih dalam tentang bagaimana matriks transformasi bekerja dan bagaimana mereka memengaruhi bentuk dan posisi kurva. Selain itu, kita juga belajar bahwa tidak semua transformasi akan mengubah persamaan kurva secara signifikan. Ada kasus-kasus tertentu di mana persamaan kurva tetap sama meskipun kurvanya sendiri mengalami perubahan bentuk.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya kalau ada yang masih bingung. Teruslah belajar dan eksplorasi matematika, karena selalu ada hal menarik untuk ditemukan! Selamat belajar! 😉