Vektor Posisi AB: Contoh Soal & Pembahasan Lengkap

by ADMIN 51 views
Iklan Headers

Halo guys! Kali ini kita akan membahas soal tentang vektor posisi, khususnya cara mencari vektor posisi AB‾\overline{AB} jika diketahui koordinat titik A dan B. Soal ini sering muncul di pelajaran matematika SMA, jadi penting banget untuk kita kuasai. Yuk, simak pembahasannya!

Memahami Konsep Vektor Posisi

Sebelum masuk ke contoh soal, penting untuk memahami dulu apa itu vektor posisi. Secara sederhana, vektor posisi itu adalah vektor yang pangkalnya berada di titik asal koordinat (0, 0, 0) dan ujungnya berada di titik yang ingin kita tentukan posisinya. Jadi, kalau kita punya titik A, vektor posisinya (biasanya ditulis sebagai a⃗\vec{a}) akan menunjukkan arah dan jarak dari titik asal ke titik A.

Dalam ruang tiga dimensi, vektor posisi biasanya dinyatakan dalam bentuk komponen-komponennya, yaitu (xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, di mana x, y, dan z adalah koordinat titik tersebut. Jadi, kalau kita punya titik A(2, -1, 3), maka vektor posisinya adalah a⃗=(2−13)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}.

Nah, sekarang gimana caranya mencari vektor posisi AB‾\overline{AB}? Vektor AB‾\overline{AB} ini menunjukkan arah dan jarak dari titik A ke titik B. Untuk mencarinya, kita bisa menggunakan rumus berikut:

AB‾=b⃗−a⃗\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}

Di mana a⃗\vec{a} adalah vektor posisi titik A dan b⃗\vec{b} adalah vektor posisi titik B. Jadi, kita cukup mengurangkan vektor posisi titik A dari vektor posisi titik B. Simpel kan?

Rumus ini sangat penting, jadi pastikan kalian benar-benar memahaminya ya. Dengan rumus ini, kita bisa mencari vektor posisi antara dua titik mana pun di ruang tiga dimensi.

Mengapa Rumus Ini Bekerja?

Mungkin kalian bertanya-tanya, kenapa sih kita harus mengurangkan vektor posisi A dari vektor posisi B untuk mendapatkan vektor AB‾\overline{AB}? Coba bayangkan ini: kita ingin berjalan dari titik A ke titik B. Kita bisa melakukannya dengan dua langkah:

  1. Berjalan dari titik A ke titik asal (0, 0, 0). Ini sama dengan bergerak sepanjang vektor −a⃗-\vec{a}.
  2. Berjalan dari titik asal ke titik B. Ini sama dengan bergerak sepanjang vektor b⃗\vec{b}.

Jadi, total perpindahan kita adalah −a⃗+b⃗-\vec{a} + \vec{b}, yang sama dengan b⃗−a⃗\vec{b} - \vec{a}. Inilah kenapa rumus AB‾=b⃗−a⃗\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a} itu benar.

Contoh Soal dan Pembahasan

Oke, sekarang kita coba terapkan rumus ini ke soal yang diberikan:

Soal:

Diketahui koordinat titik A (2, -1, 3) dan B (3, 4, -5). Maka vektor posisi dari titik AB‾\overline{AB} adalah...

Pembahasan:

  1. Tentukan vektor posisi titik A dan B:
    • Vektor posisi titik A: a⃗=(2−13)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
    • Vektor posisi titik B: b⃗=(34−5)\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}
  2. Gunakan rumus AB‾=b⃗−a⃗\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}: AB‾=(34−5)−(2−13)=(3−24−(−1)−5−3)=(15−8)\overline{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 4-(-1) \\ -5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix}

Jadi, vektor posisi AB‾\overline{AB} adalah (15−8)\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix}.

Tips: Saat mengurangkan vektor, pastikan kalian mengurangkan komponen-komponen yang sesuai (x dengan x, y dengan y, z dengan z). Jangan sampai tertukar ya!

Analisis Pilihan Jawaban

Sekarang, mari kita lihat pilihan jawaban yang diberikan di soal:

A. (12144)\begin{pmatrix} 12 \\ 14 \\ 4 \end{pmatrix}

B. (2144)\begin{pmatrix} 2 \\ 14 \\ 4 \end{pmatrix}

C. (14−4)\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}

D. (15−8)\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix}

E. (53−2)\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}

Dari hasil perhitungan kita, jawaban yang benar adalah D. (15−8)\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix}.

Perhatikan bahwa pilihan jawaban lain mungkin muncul karena kesalahan dalam perhitungan pengurangan. Misalnya, pilihan C mungkin muncul jika kita salah mengurangkan komponen z (-5 - 3 = -4, padahal seharusnya -8). Jadi, penting banget untuk teliti dalam menghitung!

Variasi Soal Vektor Posisi

Selain soal mencari vektor posisi AB‾\overline{AB}, ada juga beberapa variasi soal lain yang mungkin muncul, di antaranya:

  1. Mencari koordinat titik B jika diketahui koordinat titik A dan vektor AB‾\overline{AB}

    Untuk soal seperti ini, kita bisa menggunakan rumus b⃗=a⃗+AB‾\vec{b} = \vec{a} + \overline{AB}. Jadi, kita cukup menjumlahkan vektor posisi titik A dengan vektor AB‾\overline{AB} untuk mendapatkan vektor posisi titik B, lalu kita bisa menentukan koordinat titik B.

  2. Mencari vektor satuan dari vektor AB‾\overline{AB}

    Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Untuk mencari vektor satuan dari vektor AB‾\overline{AB}, kita perlu membagi vektor AB‾\overline{AB} dengan panjangnya. Panjang vektor AB‾\overline{AB} bisa dihitung menggunakan rumus:

    ∣AB‾∣=x2+y2+z2|\overline{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

    Di mana x, y, dan z adalah komponen-komponen vektor AB‾\overline{AB}. Setelah mendapatkan panjangnya, kita bisa mencari vektor satuan dengan rumus:

    u^=AB‾∣AB‾∣\hat{u} = \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|}

    Di mana u^\hat{u} adalah vektor satuan.

  3. Soal-soal aplikasi vektor posisi dalam geometri

    Vektor posisi juga sering digunakan dalam soal-soal geometri, misalnya untuk menentukan apakah tiga titik segaris atau tidak, menentukan persamaan garis yang melalui dua titik, dan sebagainya. Untuk soal-soal seperti ini, kita perlu menggabungkan konsep vektor posisi dengan konsep-konsep geometri lainnya.

Tips Mengerjakan Soal Vektor Posisi

Berikut beberapa tips yang bisa kalian gunakan saat mengerjakan soal vektor posisi:

  • Pahami konsep dasar vektor posisi dan operasi vektor (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar). Ini adalah fondasi penting untuk menyelesaikan soal-soal vektor posisi.
  • Gambarkan vektor jika memungkinkan. Menggambarkan vektor bisa membantu kita memvisualisasikan soal dan memahami hubungan antar vektor.
  • Teliti dalam perhitungan. Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa membuat jawaban kita salah. Jadi, pastikan untuk selalu memeriksa perhitungan kita.
  • Latihan soal secara rutin. Semakin banyak kita latihan soal, semakin terbiasa kita dengan berbagai jenis soal vektor posisi dan semakin cepat kita dalam menyelesaikannya.

Kesimpulan

Oke guys, itu tadi pembahasan lengkap tentang cara mencari vektor posisi AB‾\overline{AB} jika diketahui koordinat titik A dan B. Intinya, kita perlu memahami konsep vektor posisi, rumus AB‾=b⃗−a⃗\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}, dan teliti dalam perhitungan. Dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai materi ini!

Semoga pembahasan ini bermanfaat ya. Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan soal lainnya!