Vektor R2 & R3: Apakah Himpunan S Merentang Ruang?

by ADMIN 51 views

Hey guys! Kali ini kita akan membahas pertanyaan menarik tentang ruang vektor, khususnya mengenai apakah suatu himpunan vektor dapat merentang atau membangun ruang vektor tertentu. Pertanyaan ini sering muncul dalam aljabar linear dan penting banget untuk dipahami. Jadi, mari kita bedah satu per satu!

1. Apakah Himpunan S = {a = (0,2), b = (2,-1)} Merentang Ruang Vektor R²?

Pertanyaan pertama ini meminta kita untuk menentukan apakah himpunan S = {a = (0,2), b = (2,-1)} dapat merentang ruang vektor R². Apa sih artinya merentang itu? Singkatnya, himpunan vektor dikatakan merentang suatu ruang vektor jika setiap vektor dalam ruang tersebut dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam himpunan tersebut.

Untuk kasus R², ini berarti kita harus bisa mendapatkan semua vektor dalam bidang 2 dimensi (yang bisa direpresentasikan sebagai pasangan bilangan (x, y)) dengan menjumlahkan kelipatan dari vektor a dan b. Secara matematis, kita ingin mencari konstanta c₁ dan c₂ sehingga:

c₁ * (0, 2) + c₂ * (2, -1) = (x, y)

Ini akan menghasilkan sistem persamaan linear:

2c₂ = x
2c₁ - c₂ = y

Nah, untuk menentukan apakah himpunan S merentang R², kita perlu melihat apakah sistem persamaan ini memiliki solusi untuk setiap (x, y) di R². Salah satu cara untuk melakukannya adalah dengan menghitung determinan dari matriks koefisiennya. Matriks koefisien dari sistem persamaan ini adalah:

| 0  2 |
| 2 -1 |

Determinan dari matriks ini adalah (0 * -1) - (2 * 2) = -4. Karena determinannya tidak nol, maka sistem persamaan ini memiliki solusi unik untuk setiap (x, y). Ini berarti, iya guys, himpunan S merentang ruang vektor R²!

Kenapa determinan penting? Determinan yang tidak nol menunjukkan bahwa vektor-vektor dalam himpunan S linearly independent alias tidak bergantung satu sama lain. Ini penting karena kalau vektor-vektornya linearly dependent, mereka tidak akan bisa mencakup seluruh ruang R².

Contoh: Misalkan kita ingin mendapatkan vektor (4, 3). Kita perlu mencari c₁ dan c₂ sehingga:

c₁ * (0, 2) + c₂ * (2, -1) = (4, 3)

Dari persamaan pertama (2c₂ = x), kita dapatkan 2c₂ = 4, sehingga c₂ = 2. Kemudian, dari persamaan kedua (2c₁ - c₂ = y), kita dapatkan 2c₁ - 2 = 3, sehingga c₁ = 2.5. Jadi, (4, 3) dapat ditulis sebagai 2.5 * (0, 2) + 2 * (2, -1).

2. Apakah Himpunan S = {a = (1,2,3), b = (2,-1,0)} Membangun Ruang Vektor R³?

Sekarang, mari kita beralih ke pertanyaan kedua. Kali ini, kita punya himpunan S = {a = (1,2,3), b = (2,-1,0)} dan kita ingin tahu apakah himpunan ini membangun ruang vektor R³. Mirip dengan konsep merentang, membangun ruang vektor berarti setiap vektor dalam ruang tersebut dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam himpunan.

Bedanya, dalam kasus R³, kita berurusan dengan ruang 3 dimensi. Untuk membangun R³, kita membutuhkan minimal 3 vektor yang linearly independent. Nah, di sini kita hanya punya 2 vektor. Jadi, secara intuitif, kita bisa menebak bahwa himpunan S ini tidak akan bisa membangun R³.

Kenapa 3 vektor minimal? Bayangkan gini, guys. Satu vektor hanya bisa membentuk garis. Dua vektor yang linearly independent bisa membentuk bidang. Tapi untuk mencakup seluruh ruang 3 dimensi, kita butuh vektor ketiga yang tidak terletak di bidang yang sama dengan dua vektor sebelumnya. Ini untuk memberikan dimensi ketiga.

Untuk membuktikannya secara matematis, kita bisa mencoba mencari konstanta c₁ dan c₂ sehingga:

c₁ * (1, 2, 3) + c₂ * (2, -1, 0) = (x, y, z)

Ini akan menghasilkan sistem persamaan linear:

c₁ + 2c₂ = x
2c₁ - c₂ = y
3c₁ = z

Kita bisa mencoba menyelesaikan sistem persamaan ini. Dari persamaan ketiga, kita dapatkan c₁ = z/3. Substitusikan ini ke persamaan kedua:

2(z/3) - c₂ = y
c₂ = (2z/3) - y

Sekarang, substitusikan c₁ dan c₂ ke persamaan pertama:

(z/3) + 2((2z/3) - y) = x
(z/3) + (4z/3) - 2y = x
(5z/3) - 2y = x

Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa tidak semua (x, y, z) di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a dan b. Persamaan ini memberikan batasan hubungan antara x, y, dan z. Artinya, hanya vektor-vektor yang memenuhi persamaan ini yang bisa dibangun oleh himpunan S.

Jadi, fix no way, himpunan S tidak membangun ruang vektor R³!

Contoh: Misalkan kita ambil vektor (1, 1, 1). Untuk vektor ini, kita punya x = 1, y = 1, dan z = 1. Kalau kita substitusikan ke persamaan (5z/3) - 2y = x, kita dapatkan (5/3) - 2 = 1, yang mana salah. Ini berarti vektor (1, 1, 1) tidak bisa ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor a dan b.

Kesimpulan

Oke guys, kita sudah membahas dua pertanyaan penting tentang ruang vektor. Kita belajar bahwa:

  • Himpunan S = {a = (0,2), b = (2,-1)} merentang ruang vektor R².
  • Himpunan S = {a = (1,2,3), b = (2,-1,0)} tidak membangun ruang vektor R³.

Semoga penjelasan ini bermanfaat dan bikin kalian makin jago aljabar linear, ya! Kalau ada pertanyaan lain, jangan ragu untuk bertanya. Semangat belajar!