Yuk, Bedah Soal Matematika: Polinomial & Sisanya!

by ADMIN 50 views
Iklan Headers

Hai, guys! Kali ini, kita akan seru-seruan membahas soal matematika yang melibatkan polinomial atau suku banyak. Kita akan mencari nilai a + b dan hasil bagi dari pembagian polinomial. Jangan khawatir, kita akan bahas dengan santai dan mudah dipahami, kok! Siap-siap untuk menggali lebih dalam, ya!

Memahami Konsep Dasar Polinomial dan Pembagiannya

Polinomial atau suku banyak adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel (biasanya x) dan koefisien (angka di depan variabel) yang dihubungkan dengan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Pangkat dari variabel harus berupa bilangan bulat non-negatif. Contohnya, x⁴ - 4x³ + 7x² + ax + b adalah sebuah polinomial.

Nah, dalam soal ini, kita akan berurusan dengan pembagian polinomial. Konsep dasarnya adalah ketika kita membagi suatu polinomial P(x) dengan polinomial lainnya (disebut pembagi), kita akan mendapatkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x). Hubungan antara mereka bisa dituliskan sebagai:

P(x) = H(x) * Pembagi + S(x)

Sisa pembagian S(x) bisa berupa konstanta (angka saja) atau polinomial dengan derajat yang lebih kecil dari pembagi. Misalnya, jika pembaginya berderajat 2 (seperti x² - 2x - 3), maka sisanya akan berderajat 1 atau berupa konstanta (misalnya, 8x + 10).

Kenapa ini penting? Karena dengan memahami konsep ini, kita bisa memecahkan soal-soal seperti ini dengan lebih mudah. Kita akan memanfaatkan informasi tentang sisa dan pembagi untuk menemukan nilai a + b dan hasil bagi H(x).

Kita akan menggunakan metode yang disebut pembagian bersusun atau metode Horner untuk menyelesaikan soal ini. Tapi tenang, kita akan bahas pelan-pelan langkah demi langkah!

Mari Kita Mulai dengan Soal a: Membongkar Polinomial P(x) = x⁴ - 4x³ + 7x² + ax + b

Oke, guys, mari kita mulai petualangan kita dengan soal a! Kita punya polinomial P(x) = x⁴ - 4x³ + 7x² + ax + b yang dibagi oleh (x² - 2x - 3), dan sisanya adalah 8x + 10. Tujuan kita adalah menemukan nilai a + b dan juga hasil baginya.

Langkah 1: Menguraikan Pembagi

Perhatikan pembagi kita, (x² - 2x - 3). Kita bisa memfaktorkannya menjadi (x - 3)(x + 1). Ini akan membantu kita dalam perhitungan nanti. Faktorisasi ini memberitahu kita bahwa pembagi akan bernilai nol ketika x = 3 atau x = -1.

Langkah 2: Menggunakan Konsep Sisa

Kita tahu bahwa P(x) = H(x) * Pembagi + S(x). Karena kita tahu pembagi dan sisa, kita bisa substitusikan:

P(x) = H(x) * (x² - 2x - 3) + (8x + 10)

Sekarang, mari kita gunakan fakta bahwa pembagi akan bernilai nol ketika x = 3 atau x = -1. Ini berarti, jika kita substitusikan x = 3 atau x = -1 ke dalam persamaan di atas, suku yang mengandung pembagi akan menjadi nol, dan kita hanya akan tersisa dengan sisa.

Langkah 3: Menemukan Nilai P(3) dan P(-1)

  • Untuk x = 3: P(3) = (3)⁴ - 4(3)³ + 7(3)² + a(3) + b = H(3) * (0) + (8(3) + 10) P(3) = 81 - 108 + 63 + 3a + b = 24 + 10 P(3) = 36 + 3a + b = 34 3a + b = -2 ...(Persamaan 1)
  • Untuk x = -1: P(-1) = (-1)⁴ - 4(-1)³ + 7(-1)² + a(-1) + b = H(-1) * (0) + (8(-1) + 10) P(-1) = 1 + 4 + 7 - a + b = -8 + 10 P(-1) = 12 - a + b = 2 -a + b = -10 ...(Persamaan 2)

Langkah 4: Menyelesaikan Sistem Persamaan

Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (a dan b). Kita bisa menyelesaikannya dengan metode eliminasi atau substitusi.

  • Metode Eliminasi: Kita bisa kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1: (3a + b) - (-a + b) = -2 - (-10) 4a = 8 a = 2

    Kemudian, substitusikan nilai a ke salah satu persamaan (misalnya, Persamaan 2): -2 + b = -10 b = -8

    Jadi, kita temukan a = 2 dan b = -8.

Langkah 5: Menghitung a + b

a + b = 2 + (-8) = -6

Langkah 6: Menentukan Hasil Bagi H(x)

Untuk mencari hasil bagi H(x), kita bisa menggunakan pembagian bersusun atau metode Horner. Kita tahu P(x) = H(x) * (x² - 2x - 3) + (8x + 10). Kita juga tahu a = 2 dan b = -8, jadi:

P(x) = x⁴ - 4x³ + 7x² + 2x - 8

Kita bisa melakukan pembagian bersusun P(x) dengan (x² - 2x - 3). Prosesnya adalah sebagai berikut:

  • Bagi suku tertinggi dari P(x) (yaitu x⁴) dengan suku tertinggi dari pembagi (yaitu x²). Hasilnya adalah x². Ini adalah suku pertama dari hasil bagi.
  • Kalikan x² dengan pembagi (x² - 2x - 3), hasilnya adalah x⁴ - 2x³ - 3x².
  • Kurangkan hasil perkalian ini dari P(x). Hasilnya adalah -2x³ + 10x² + 2x - 8.
  • Bagi suku tertinggi dari hasil pengurangan (yaitu -2x³) dengan suku tertinggi dari pembagi (yaitu x²). Hasilnya adalah -2x. Ini adalah suku kedua dari hasil bagi.
  • Kalikan -2x dengan pembagi (x² - 2x - 3), hasilnya adalah -2x³ + 4x² + 6x.
  • Kurangkan hasil perkalian ini dari hasil pengurangan sebelumnya. Hasilnya adalah 6x² - 4x - 8.
  • Bagi suku tertinggi dari hasil pengurangan (yaitu 6x²) dengan suku tertinggi dari pembagi (yaitu x²). Hasilnya adalah 6. Ini adalah suku ketiga dari hasil bagi.
  • Kalikan 6 dengan pembagi (x² - 2x - 3), hasilnya adalah 6x² - 12x - 18.
  • Kurangkan hasil perkalian ini dari hasil pengurangan sebelumnya. Hasilnya adalah 8x + 10. Ini adalah sisa, yang sudah sesuai dengan yang kita ketahui.

Maka, hasil bagi H(x) = x² - 2x + 6

Kesimpulan untuk Soal a:

  • a + b = -6.
  • Hasil bagi: H(x) = x² - 2x + 6.

Mari Kita Bongkar Soal b: Polinomial P(x) = 4x⁴ - 8x³ + ax² - bx - 1

Sekarang, kita beralih ke soal b, guys! Kita punya polinomial P(x) = 4x⁴ - 8x³ + ax² - bx - 1 yang dibagi oleh (2x² + 3x - 1), dan sisanya adalah 2x + 2. Kita akan mengikuti langkah-langkah yang mirip dengan soal a untuk menemukan nilai a + b dan hasil baginya.

Langkah 1: Memahami Pembagi

Pembagi kita adalah (2x² + 3x - 1). Kita tidak perlu memfaktorkannya seperti sebelumnya karena tidak mudah difaktorkan. Tapi, kita tetap bisa menggunakan konsep sisa pembagian.

Langkah 2: Menggunakan Konsep Sisa

Kita tahu bahwa P(x) = H(x) * Pembagi + S(x). Jadi, kita bisa tulis:

P(x) = H(x) * (2x² + 3x - 1) + (2x + 2)

Langkah 3: Menggunakan Strategi Substitusi Cerdas

Karena pembagi kita tidak mudah difaktorkan, kita tidak bisa langsung menggunakan cara substitusi nilai x yang membuat pembagi nol seperti di soal a. Tapi, kita bisa mencoba pendekatan lain.

Kita akan mencari nilai a dan b dengan cara mengumpulkan koefisien dari suku-suku yang berpangkat sama. Untuk melakukan itu, kita perlu melakukan pembagian polinomial.

Langkah 4: Pembagian Polinomial

Kita akan melakukan pembagian bersusun P(x) = 4x⁴ - 8x³ + ax² - bx - 1 dengan (2x² + 3x - 1).

  • Bagi 4x⁴ dengan 2x², hasilnya adalah 2x². Ini adalah suku pertama dari hasil bagi.
  • Kalikan 2x² dengan (2x² + 3x - 1), hasilnya adalah 4x⁴ + 6x³ - 2x².
  • Kurangkan dari P(x), hasilnya adalah -14x³ + (a+2)x² - bx - 1.
  • Bagi -14x³ dengan 2x², hasilnya adalah -7x. Ini adalah suku kedua dari hasil bagi.
  • Kalikan -7x dengan (2x² + 3x - 1), hasilnya adalah -14x³ - 21x² + 7x.
  • Kurangkan dari hasil pengurangan sebelumnya, hasilnya adalah (a+23)x² + (-b-7)x - 1.
  • Kita tahu sisanya adalah 2x + 2. Jadi, kita harus punya: (a+23)x² + (-b-7)x - 1 = H(x) * (2x² + 3x - 1) + 2x + 2

Karena derajat sisa harus lebih kecil dari derajat pembagi, maka koefisien dari x² harus nol, yaitu a + 23 = 0, sehingga a = -23.

Dan koefisien dari x harus sama dengan 2, yaitu -b - 7 = 2, sehingga b = -9.

Langkah 5: Menghitung a + b

a + b = -23 + (-9) = -32

Langkah 6: Menentukan Hasil Bagi H(x)

Dari proses pembagian bersusun di atas, kita sudah dapatkan hasil bagi H(x) = 2x² - 7x. Ingat, sisa dari pembagian ini adalah 2x + 2.

Kesimpulan untuk Soal b:

  • a + b = -32.
  • Hasil bagi: H(x) = 2x² - 7x.

Penutup: Semangat Terus Belajar!

Nah, guys, itulah pembahasan kita tentang soal polinomial. Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsepnya lebih baik. Ingat, kunci dari matematika adalah latihan. Semakin sering kalian berlatih, semakin mudah kalian menguasai materi ini. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan teruslah bertanya jika ada yang kurang jelas. Semangat terus belajar, ya!