Yuk, Bedah Tuntas Fungsi Matematika: Domain, Range, Dan Grafiknya!

by ADMIN 67 views

Guys, mari kita selami dunia fungsi matematika! Kali ini, kita akan membahas soal yang seru banget, yaitu tentang fungsi f(x) = x² - 4. Kita akan bedah habis mulai dari domain, range, sifat-sifatnya (surjektif dan injektif), sampai menggambar grafiknya. Siap-siap, ya, karena kita akan belajar sambil seru-seruan! Matematika itu sebenarnya asyik, lho. Yuk, kita mulai!

1. Memahami Fungsi f(x) = x² - 4

Fungsi matematika adalah sebuah aturan yang mengaitkan setiap anggota dari suatu himpunan (disebut domain) dengan tepat satu anggota dari himpunan lain (disebut range). Dalam kasus kita, fungsi f(x) = x² - 4 mengambil nilai x sebagai input, mengkuadratkannya, lalu mengurangkan hasilnya dengan 4. Fungsi ini sangat penting dalam matematika karena menjadi dasar untuk memahami konsep-konsep yang lebih kompleks. Pemahaman yang baik tentang fungsi akan sangat membantu kalian dalam menghadapi soal-soal matematika lainnya, baik di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya, fungsi bisa digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi, perubahan suhu, atau bahkan pergerakan harga saham. Dengan memahami fungsi, kita bisa memprediksi dan menganalisis berbagai fenomena di dunia nyata.

Fungsi ini juga termasuk dalam kategori fungsi kuadrat, yang grafiknya akan membentuk parabola. Bentuk parabola ini sangat khas dan memiliki karakteristik tertentu yang perlu kita pahami. Selain itu, fungsi kuadrat memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Misalnya, dalam fisika, persamaan gerak parabola sering digunakan untuk menggambarkan lintasan proyektil yang ditembakkan. Dalam teknik, fungsi kuadrat digunakan dalam desain struktur bangunan, seperti jembatan dan gedung. Oleh karena itu, memahami fungsi kuadrat dan turunannya sangat krusial.

Dalam konteks soal ini, kita akan fokus pada beberapa aspek penting dari fungsi ini, yaitu domain, range, sifat surjektif dan injektif, serta bagaimana cara menggambar grafiknya. Memahami konsep-konsep ini akan memberikan kita pemahaman yang lebih dalam tentang bagaimana fungsi bekerja dan bagaimana kita dapat menggunakannya untuk memecahkan masalah matematika.

a) Domain dan Range Fungsi

Domain sebuah fungsi adalah himpunan semua nilai x yang bisa dimasukkan ke dalam fungsi. Dalam soal ini, disebutkan bahwa x ∈ R, yang berarti x adalah semua bilangan real. Jadi, domain dari f(x) = x² - 4 adalah semua bilangan real. Tidak ada batasan nilai x yang menyebabkan fungsi ini tidak terdefinisi. Kalian bisa memasukkan angka apa saja, mulai dari minus tak hingga sampai tak hingga, dan fungsi ini akan menghasilkan nilai. Ini berbeda dengan fungsi-fungsi lain, misalnya fungsi akar kuadrat, yang hanya menerima nilai x yang non-negatif.

Range sebuah fungsi adalah himpunan semua nilai y yang dihasilkan oleh fungsi tersebut. Untuk menentukan range dari f(x) = x² - 4, kita perlu memahami bagaimana fungsi ini bekerja. Karena x dikuadratkan, nilai x² selalu non-negatif (nol atau positif). Nilai terkecil dari x² adalah 0, yang terjadi ketika x = 0. Ketika x² = 0, maka f(x) = 0 - 4 = -4. Jadi, nilai terkecil dari f(x) adalah -4. Karena x² selalu positif atau nol, maka f(x) akan selalu lebih besar atau sama dengan -4. Dengan demikian, range dari f(x) = x² - 4 adalah y ≥ -4 atau dalam notasi interval [-4, ∞). Pemahaman tentang bagaimana kuadrat mempengaruhi nilai fungsi sangat penting di sini.

Jadi, singkatnya:

  • Domain: x ∈ R (semua bilangan real)
  • Range: y ≥ -4 atau [-4, ∞)

b) Apakah Fungsi ini Surjektif (Pada)? Berikan Alasan.

Fungsi surjektif (atau pada) adalah fungsi di mana setiap anggota di range memiliki setidaknya satu anggota di domain yang dipetakan kepadanya. Dengan kata lain, range fungsi harus sama dengan kodomain (himpunan semua nilai yang mungkin dihasilkan oleh fungsi). Dalam kasus kita, range dari f(x) = x² - 4 adalah y ≥ -4. Jika kodomain fungsi adalah semua bilangan real (R), maka fungsi ini bukan surjektif. Alasannya, tidak semua nilai y dalam R (misalnya, nilai y < -4) memiliki pasangan x di domain yang menghasilkan nilai tersebut. Misalnya, tidak ada nilai x yang akan menghasilkan f(x) = -5, karena x² tidak mungkin bernilai -1 (untuk mendapatkan f(x) = -5, kita perlu x² = -1, yang tidak mungkin dalam bilangan real).

Namun, jika kodomain fungsi dibatasi hanya pada range-nya (yaitu, y ≥ -4), maka fungsi tersebut akan menjadi surjektif. Ini berarti setiap nilai y dalam range benar-benar dihasilkan oleh setidaknya satu nilai x dalam domain. Penting untuk memahami perbedaan antara kodomain dan range untuk menentukan apakah suatu fungsi surjektif atau tidak.

Jadi, jawabannya:

  • Bukan surjektif jika kodomain adalah R (semua bilangan real)
  • Surjektif jika kodomain adalah y ≥ -4

c) Apakah Fungsi ini Injektif (Satu-satu)? Berikan Alasan.

Fungsi injektif (atau satu-satu) adalah fungsi di mana setiap anggota di range memiliki tepat satu anggota di domain yang dipetakan kepadanya. Dengan kata lain, tidak ada dua nilai x yang berbeda yang menghasilkan nilai y yang sama. Dalam kasus f(x) = x² - 4, ini bukan fungsi injektif. Alasannya, untuk setiap nilai y > -4, terdapat dua nilai x yang berbeda yang menghasilkan nilai y yang sama. Contohnya, jika y = 0, maka x² - 4 = 0, sehingga x = 2 atau x = -2. Kedua nilai x ini menghasilkan nilai y yang sama, yaitu 0.

Grafik fungsi kuadrat (parabola) juga menunjukkan hal ini. Garis horizontal yang ditarik akan memotong grafik di dua titik (kecuali pada titik puncak), yang menunjukkan bahwa ada dua nilai x yang menghasilkan nilai y yang sama. Ini adalah karakteristik penting dari fungsi kuadrat yang membedakannya dari fungsi-fungsi linier, yang selalu injektif (kecuali fungsi konstan).

Jadi, jawabannya:

  • Bukan injektif

d) Gambarkan Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi f(x) = x² - 4, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

  1. Tentukan titik puncak (vertex): Titik puncak dari fungsi kuadrat dalam bentuk f(x) = ax² + bx + c adalah (-b/2a, f(-b/2a)). Dalam kasus kita, a = 1, b = 0, dan c = -4. Jadi, titik puncaknya adalah (0, -4). Titik puncak ini adalah titik terendah (minimum) dari parabola.

  2. Tentukan titik potong sumbu-y: Titik potong sumbu-y terjadi ketika x = 0. Dalam kasus kita, f(0) = 0² - 4 = -4. Jadi, titik potong sumbu-y adalah (0, -4). Titik ini juga merupakan titik puncak.

  3. Tentukan titik potong sumbu-x: Titik potong sumbu-x terjadi ketika y = 0. Jadi, kita perlu mencari nilai x ketika x² - 4 = 0. Ini berarti x² = 4, sehingga x = 2 atau x = -2. Jadi, titik potong sumbu-x adalah (2, 0) dan (-2, 0).

  4. Buat tabel nilai: Pilih beberapa nilai x di sekitar titik puncak dan hitung nilai y yang sesuai. Misalnya:

    • x = -3, y = (-3)² - 4 = 5
    • x = -2, y = (-2)² - 4 = 0
    • x = -1, y = (-1)² - 4 = -3
    • x = 0, y = (0)² - 4 = -4
    • x = 1, y = (1)² - 4 = -3
    • x = 2, y = (2)² - 4 = 0
    • x = 3, y = (3)² - 4 = 5

  5. Gambarkan grafik: Gambarkan sumbu-x dan sumbu-y. Plot titik-titik yang telah kita dapatkan pada tabel nilai. Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus berbentuk parabola. Parabola akan terbuka ke atas karena koefisien dari x² (yaitu, a) adalah positif (a = 1).

Dengan mengikuti langkah-langkah ini, kalian akan mendapatkan grafik parabola yang membuka ke atas dengan titik puncak di (0, -4) dan memotong sumbu-x di (-2, 0) dan (2, 0).

Kesimpulan

Guys, kita sudah selesai membahas semua aspek penting dari fungsi f(x) = x² - 4. Kita telah menentukan domain, range, sifat surjektif dan injektif, serta menggambar grafiknya. Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep fungsi matematika dengan lebih baik. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan terus berlatih. Matematika itu menyenangkan, kok! Selamat belajar!