Analisis Dan Sketsa Grafik Fungsi Y = (x^2-1)/(x^2+4)

by ADMIN 54 views

Hay guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang cara menentukan interval naik dan turun suatu fungsi, serta membuat sketsa grafiknya. Soal yang akan kita bahas adalah fungsi rasional y = (x2-1)/(x2+4). Wah, kelihatannya agak rumit ya? Tapi tenang, kita akan pecah menjadi langkah-langkah yang mudah diikuti. Yuk, langsung saja kita mulai!

1. Menentukan Domain Fungsi

Sebelum kita melangkah lebih jauh, pertama-tama kita harus menentukan domain dari fungsi ini. Domain adalah himpunan semua nilai x yang boleh dimasukkan ke dalam fungsi tanpa membuat fungsi tersebut menjadi tidak terdefinisi. Untuk fungsi rasional seperti ini, kita perlu memastikan bahwa penyebutnya tidak sama dengan nol.

  • Penyebut fungsi kita adalah x^2 + 4. Kita perlu mencari nilai x yang membuat x^2 + 4 = 0.
  • x^2 + 4 = 0
  • x^2 = -4

Nah, di sini kita lihat bahwa tidak ada bilangan real x yang kuadratnya sama dengan -4. Ini berarti penyebut fungsi kita tidak akan pernah bernilai nol untuk semua bilangan real x. Jadi, domain fungsi ini adalah semua bilangan real atau bisa kita tulis sebagai (-∞, ∞).

2. Mencari Titik Potong dengan Sumbu Koordinat

Selanjutnya, kita akan mencari titik potong grafik fungsi dengan sumbu x dan sumbu y. Titik potong ini akan membantu kita dalam membuat sketsa grafik yang lebih akurat.

Titik Potong dengan Sumbu X

Titik potong dengan sumbu x terjadi ketika y = 0. Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

  • (x^2 - 1)/(x^2 + 4) = 0

Sebuah pecahan bernilai nol jika dan hanya jika pembilangnya bernilai nol. Jadi, kita hanya perlu menyelesaikan persamaan:

  • x^2 - 1 = 0
  • (x - 1)(x + 1) = 0

Dari sini, kita dapatkan dua solusi, yaitu x = 1 dan x = -1. Jadi, grafik fungsi memotong sumbu x di titik (-1, 0) dan (1, 0).

Titik Potong dengan Sumbu Y

Titik potong dengan sumbu y terjadi ketika x = 0. Jadi, kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:

  • y = (0^2 - 1)/(0^2 + 4)
  • y = -1/4

Jadi, grafik fungsi memotong sumbu y di titik (0, -1/4).

3. Menentukan Asimtot

Asimtot adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi ketika x mendekati tak hingga atau negatif tak hingga (asimtot horizontal) atau ketika x mendekati suatu nilai tertentu (asimtot vertikal). Untuk fungsi rasional, kita perlu mencari asimtot horizontal dan vertikal.

Asimtot Horizontal

Untuk mencari asimtot horizontal, kita perlu melihat perilaku fungsi ketika x mendekati tak hingga atau negatif tak hingga. Kita perhatikan pangkat tertinggi dari x pada pembilang dan penyebut.

Dalam fungsi kita, y = (x^2 - 1)/(x^2 + 4), pangkat tertinggi dari x pada pembilang dan penyebut adalah 2. Kita bagi koefisien dari x^2 pada pembilang dan penyebut untuk mendapatkan asimtot horizontal:

  • Asimtot horizontal: y = 1/1 = 1

Jadi, grafik fungsi memiliki asimtot horizontal di garis y = 1. Ini berarti ketika x semakin besar atau semakin kecil, nilai y akan semakin mendekati 1.

Asimtot Vertikal

Untuk mencari asimtot vertikal, kita perlu mencari nilai x yang membuat penyebut fungsi bernilai nol. Seperti yang sudah kita bahas di bagian domain, penyebut fungsi kita (x^2 + 4) tidak pernah bernilai nol untuk bilangan real x. Jadi, fungsi ini tidak memiliki asimtot vertikal.

4. Menentukan Interval Naik dan Turun

Sekarang, bagian yang paling penting: menentukan interval naik dan turun fungsi. Untuk melakukan ini, kita perlu mencari turunan pertama fungsi dan menentukan titik-titik kritisnya.

Mencari Turunan Pertama

Kita gunakan aturan kuotien untuk mencari turunan pertama dari fungsi y = (x^2 - 1)/(x^2 + 4):

  • y' = [(2x)(x^2 + 4) - (x^2 - 1)(2x)] / (x^2 + 4)^2
  • y' = [2x^3 + 8x - 2x^3 + 2x] / (x^2 + 4)^2
  • y' = 10x / (x^2 + 4)^2

Menentukan Titik Kritis

Titik kritis adalah nilai x yang membuat turunan pertama fungsi sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Dalam kasus ini, turunan pertama kita adalah y' = 10x / (x^2 + 4)^2.

  • y' = 0 ketika 10x = 0, yaitu x = 0.
  • Penyebut (x^2 + 4)^2 tidak akan pernah bernilai nol untuk bilangan real x, jadi tidak ada nilai x yang membuat turunan pertama tidak terdefinisi.

Jadi, kita hanya punya satu titik kritis, yaitu x = 0.

Uji Interval

Sekarang kita akan menguji interval di sekitar titik kritis untuk menentukan apakah fungsi naik atau turun. Kita pilih nilai uji di setiap interval dan substitusikan ke dalam turunan pertama.

  • Interval (-∞, 0): Pilih x = -1
    • y'(-1) = 10(-1) / ((-1)^2 + 4)^2 = -10 / 25 = -2/5 < 0. Fungsi turun.
  • Interval (0, ∞): Pilih x = 1
    • y'(1) = 10(1) / ((1)^2 + 4)^2 = 10 / 25 = 2/5 > 0. Fungsi naik.

Dari sini, kita bisa simpulkan bahwa:

  • Fungsi turun pada interval (-∞, 0).
  • Fungsi naik pada interval (0, ∞).

Titik kritis x = 0 adalah titik minimum lokal karena fungsi berubah dari turun menjadi naik di titik ini. Nilai minimum lokal fungsi adalah y(0) = -1/4.

5. Sketsa Grafik

Akhirnya, kita siap untuk membuat sketsa grafik fungsi y = (x^2 - 1)/(x^2 + 4). Kita punya semua informasi yang kita butuhkan:

  • Domain: (-∞, ∞)
  • Titik potong sumbu x: (-1, 0) dan (1, 0)
  • Titik potong sumbu y: (0, -1/4)
  • Asimtot horizontal: y = 1
  • Interval turun: (-∞, 0)
  • Interval naik: (0, ∞)
  • Minimum lokal: (0, -1/4)

Dengan informasi ini, kita bisa membuat sketsa grafik yang kurang lebih seperti ini:

  • Grafik mendekati garis y = 1 ketika x mendekati tak hingga atau negatif tak hingga.
  • Grafik memotong sumbu x di (-1, 0) dan (1, 0).
  • Grafik memotong sumbu y di (0, -1/4).
  • Grafik turun dari kiri hingga x = 0, lalu naik setelah x = 0.
  • Titik (0, -1/4) adalah titik terendah pada grafik.

[ Di sini, idealnya kita bisa menyertakan gambar sketsa grafik fungsi. Karena kita tidak bisa menampilkan gambar di sini, bayangkan saja grafik yang sesuai dengan deskripsi di atas ya! ]

Kesimpulan

Nah, itu dia guys! Kita sudah berhasil menganalisis dan membuat sketsa grafik fungsi y = (x^2 - 1)/(x^2 + 4). Kita sudah menentukan domain, titik potong, asimtot, interval naik dan turun, serta titik minimum lokal. Semoga penjelasan ini mudah dipahami dan bermanfaat buat kalian ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal menarik lainnya!