Bukti Infimum Himpunan Terbatas Di Bawah

Hai guys! 👋 Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang pembuktian infimum dari suatu himpunan yang terbatas di bawah. Soalnya adalah: Misalkan S adalah himpunan yang terbatas di bawah. Buktikan bahwa batas bawah w dari S merupakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Penasaran gimana cara membuktikannya? Yuk, simak penjelasan berikut ini!

Pendahuluan

Sebelum masuk ke pembuktian, ada baiknya kita pahami dulu beberapa konsep dasar yang akan kita gunakan. Ini penting banget supaya kita nggak bingung nanti.

Himpunan Terbatas di Bawah

Himpunan S dikatakan terbatas di bawah jika terdapat suatu bilangan real m sedemikian hingga m ≤ x untuk setiap x ∈ S. Bilangan m ini disebut batas bawah dari S. Jadi, intinya, semua anggota himpunan S itu lebih gede atau sama dengan m.

Infimum

Infimum dari suatu himpunan S (yang dinotasikan dengan inf(S)) adalah batas bawah terbesar dari S. Dengan kata lain, inf(S) adalah suatu bilangan m yang memenuhi dua kondisi:

1. m adalah batas bawah dari S (yaitu, m ≤ x untuk setiap x ∈ S).
2. Jika ada batas bawah lain, katakanlah m', maka m' ≤ m (yaitu, m adalah batas bawah yang paling gede).

Epsilon (ε)

Dalam matematika, epsilon (ε) sering digunakan untuk menyatakan bilangan positif yang sangat kecil. Biasanya, epsilon digunakan dalam definisi-definisi yang berhubungan dengan limit atau kekontinuan. Tujuannya adalah untuk memberikan definisi yang presisi tentang seberapa dekat suatu bilangan dengan bilangan lainnya.

Pembuktian

Sekarang, mari kita buktikan pernyataan di soal. Kita akan membuktikan dua arah:

Arah 1: Jika w adalah infimum dari S, maka untuk setiap ε > 0 terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε.

Anggap w adalah infimum dari S. Kita ingin menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, kita bisa menemukan t ∈ S yang lebih kecil dari w + ε.

Bukti:

Misalkan ada ε > 0. Karena w adalah infimum dari S, maka w adalah batas bawah terbesar dari S. Artinya, jika kita punya bilangan yang lebih besar dari w, maka bilangan itu bukan lagi batas bawah dari S.

Sekarang, perhatikan bilangan w + ε. Karena ε > 0, maka w + ε > w. Karena w adalah batas bawah terbesar, maka w + ε bukan batas bawah dari S. Ini berarti ada anggota himpunan S yang lebih kecil dari w + ε.

Dengan kata lain, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Nah, terbukti kan!

Arah 2: Jika untuk setiap ε > 0 terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε, maka w adalah infimum dari S.

Anggap untuk setiap ε > 0, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Kita ingin menunjukkan bahwa w adalah infimum dari S. Untuk menunjukkan ini, kita perlu membuktikan dua hal:

1. w adalah batas bawah dari S.
2. w adalah batas bawah terbesar dari S.

Bukti:

1. w adalah batas bawah dari S.

Kita akan buktikan dengan kontradiksi. Anggap w bukan batas bawah dari S. Ini berarti ada anggota himpunan S, katakanlah s, sedemikian hingga s < w.

Sekarang, pilih ε = w - s. Karena s < w, maka ε > 0. Berdasarkan anggapan kita, untuk setiap ε > 0, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Jadi, untuk ε = w - s, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + (w - s) = 2w - s.

Perhatikan bahwa t < 2w - s. Kita juga tahu bahwa s < w. Jika kita gabungkan kedua ketidaksamaan ini, kita akan mendapatkan sesuatu yang aneh.

Karena s < w, maka -s > -w. Tambahkan 2w ke kedua sisi, maka 2w - s > w. Jadi, kita punya t < 2w - s dan 2w - s > w. Ini berarti t bisa saja lebih besar dari w, yang bertentangan dengan anggapan kita bahwa untuk setiap ε > 0, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Oleh karena itu, anggapan kita salah. Jadi, w haruslah batas bawah dari S.

2. w adalah batas bawah terbesar dari S.

Anggap ada batas bawah lain dari S, katakanlah w', sedemikian hingga w' > w. Kita ingin menunjukkan bahwa ini tidak mungkin terjadi (karena w haruslah batas bawah terbesar).

Pilih ε = w' - w. Karena w' > w, maka ε > 0. Berdasarkan anggapan kita, untuk setiap ε > 0, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Jadi, untuk ε = w' - w, terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + (w' - w) = w'.

Ini berarti kita menemukan t ∈ S yang lebih kecil dari w'. Tapi ini bertentangan dengan fakta bahwa w' adalah batas bawah dari S (karena batas bawah haruslah lebih kecil atau sama dengan semua anggota S). Oleh karena itu, anggapan kita salah. Jadi, tidak mungkin ada batas bawah lain yang lebih besar dari w. Ini berarti w adalah batas bawah terbesar dari S.

Karena w adalah batas bawah dari S dan w adalah batas bawah terbesar dari S, maka w adalah infimum dari S. Selesai! 🎉

Kesimpulan

Nah, begitulah cara membuktikan bahwa batas bawah w dari S merupakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat t ∈ S sedemikian hingga t < w + ε. Pembuktian ini melibatkan pemahaman tentang konsep himpunan terbatas di bawah, infimum, dan epsilon. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan nggak bikin kamu pusing lagi ya! 😉