Fungsi Komposisi: Panduan Lengkap Untuk $(g \_circ F)(x), Domain, Dan Range

Wah, guys, kita akan membahas soal matematika yang seru nih! Kali ini, kita akan fokus pada konsep fungsi komposisi. Jangan khawatir, meskipun kelihatannya rumit, konsep ini sebenarnya cukup mudah dipahami kok. Kita akan bedah soal tentang fungsi $f(x)$ dan $g(x)$, mencari tahu fungsi komposisi $(g \_circ f)(x)$, menentukan domainnya, dan juga rangenya. Jadi, siap-siap ya, kita mulai petualangan matematika kita!

a. Memahami Fungsi Komposisi $(g \_circ f)(x)$

Fungsi komposisi adalah cara menggabungkan dua fungsi atau lebih menjadi satu fungsi baru. Konsepnya seperti memasukkan hasil dari suatu fungsi ke fungsi lainnya. Dalam soal ini, kita diberikan dua fungsi: $f(x) = \sqrt{x} + 1$ dan $g(x) = (x - 1)^2 + 2$. Tugas kita adalah mencari fungsi komposisi $(g \_circ f)(x)$, yang berarti kita akan memasukkan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.

Mari kita mulai dengan langkah-langkahnya. Ingat, $(g \_circ f)(x)$ artinya $g(f(x))$. Jadi, kita akan mengganti setiap $x$ dalam fungsi $g(x)$ dengan fungsi $f(x)$.

1. Gantikan $x$ dalam $g(x)$: Fungsi $g(x)$ adalah $(x - 1)^2 + 2$. Kita akan mengganti $x$ dengan $f(x)$, yaitu $\sqrt{x} + 1$.
2. Substitusi: Jadi, $g(f(x)) = ((\sqrt{x} + 1) - 1)^2 + 2$.
3. Sederhanakan: Sekarang, mari kita sederhanakan persamaan tersebut. $(\sqrt{x} + 1 - 1)^2 + 2$ menjadi $(\sqrt{x})^2 + 2$.
4. Hasil Akhir: Akhirnya, $(\sqrt{x})^2 + 2$ menjadi $x + 2$. Jadi, fungsi komposisi $(g \_circ f)(x) = x + 2$.

Nah, mudah kan? Intinya, kita hanya perlu mengganti variabel $x$ pada fungsi luar ($g(x)$ dalam kasus ini) dengan keseluruhan fungsi di dalamnya ($f(x)$). Jangan lupa untuk selalu menyederhanakan hasilnya agar lebih mudah dipahami. Jadi, fungsi $(g \circ f)(x)$ memang terdefinisi, dan hasilnya adalah $x + 2$. Gampang banget, kan?

Dengan memahami langkah-langkah ini, kalian akan lebih mudah menghadapi soal-soal fungsi komposisi lainnya. Ingatlah untuk selalu menggantikan variabel $x$ pada fungsi luar dengan fungsi di dalamnya, lalu sederhanakan persamaannya. Praktik terus, ya!

b. Menentukan Domain Fungsi $(g \_circ f)(x)$

Domain adalah semua nilai $x$ yang mungkin untuk suatu fungsi, di mana fungsi tersebut terdefinisi. Dengan kata lain, domain adalah kumpulan semua input yang valid untuk sebuah fungsi. Untuk menentukan domain dari $(g \_circ f)(x) = x + 2$, kita perlu mempertimbangkan fungsi asalnya, yaitu $f(x) = \sqrt{x} + 1$ dan $g(x) = (x - 1)^2 + 2$. Karena fungsi komposisi melibatkan dua fungsi, kita harus memastikan bahwa kedua fungsi tersebut terdefinisi.

Mari kita bedah langkah demi langkah:

1. Perhatikan fungsi $f(x)$: Fungsi $f(x) = \sqrt{x} + 1$ memiliki akar kuadrat. Kita tahu bahwa akar kuadrat hanya terdefinisi untuk nilai yang tidak negatif (nilai yang lebih besar atau sama dengan nol). Dengan kata lain, $x$ harus lebih besar atau sama dengan 0. Ini berarti domain untuk $f(x)$ adalah $x \geq 0$.
2. Perhatikan fungsi $g(x)$: Fungsi $g(x) = (x - 1)^2 + 2$ adalah fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat terdefinisi untuk semua nilai $x$. Tidak ada batasan khusus untuk nilai $x$ di fungsi ini.
3. Gabungkan Domain: Karena $(g \circ f)(x) = x + 2$, kita tahu bahwa fungsi ini akan menerima input dari hasil $f(x)$. Namun, karena $f(x)$ memiliki batasan ($x \geq 0$), domain dari $(g \circ f)(x)$ juga harus mempertimbangkan batasan ini. Meskipun fungsi hasil komposisi ($x + 2$) terdefinisi untuk semua $x$, inputnya harus berasal dari domain $f(x)$.
4. Tentukan Domain $(g \circ f)(x)$: Oleh karena itu, domain dari $(g \circ f)(x)$ adalah semua nilai $x$ di mana $x \geq 0$. Dalam notasi interval, domainnya adalah $[0, \infty)$.

Jadi, meskipun fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ terlihat sederhana, kita harus selalu mempertimbangkan batasan dari fungsi-fungsi penyusunnya. Pastikan untuk selalu mengecek domain dari setiap fungsi yang terlibat dalam komposisi untuk mendapatkan domain yang tepat.

c. Menentukan Range Fungsi $(g \_circ f)(x)$

Range adalah kumpulan semua nilai output atau hasil yang mungkin dari suatu fungsi. Untuk menentukan range dari fungsi komposisi $(g \_circ f)(x) = x + 2$, kita perlu mempertimbangkan domainnya, yaitu $x \geq 0$, yang sudah kita dapatkan sebelumnya. Kita akan melihat bagaimana domain ini memengaruhi nilai output dari fungsi komposisi.

Mari kita pecah langkah-langkahnya:

1. Ingat Domain: Domain dari $(g \circ f)(x)$ adalah $x \geq 0$. Ini berarti kita hanya boleh memasukkan nilai $x$ yang lebih besar atau sama dengan 0 ke dalam fungsi.
2. Substitusi Nilai Terendah: Nilai $x$ terkecil yang bisa kita masukkan adalah 0. Jika kita memasukkan $x = 0$ ke dalam $(g \circ f)(x) = x + 2$, kita mendapatkan $(g \circ f)(0) = 0 + 2 = 2$.
3. Perhatikan Perilaku Fungsi: Karena fungsi $(g \circ f)(x) = x + 2$ adalah fungsi linear dengan gradien positif, nilai outputnya akan terus bertambah seiring bertambahnya nilai $x$. Ini berarti, semakin besar nilai $x$ yang kita masukkan, semakin besar pula nilai outputnya.
4. Tentukan Range: Karena $x$ dimulai dari 0 dan terus bertambah, nilai output dari fungsi akan dimulai dari 2 (ketika $x = 0$) dan terus bertambah menuju tak hingga. Jadi, range dari $(g \circ f)(x)$ adalah semua nilai yang lebih besar atau sama dengan 2.
5. Notasi Interval: Dalam notasi interval, range dari $(g \circ f)(x)$ adalah $[2, \infty)$.

Dengan kata lain, fungsi $(g \circ f)(x)$ akan menghasilkan semua nilai yang lebih besar atau sama dengan 2. Ingatlah bahwa range sangat bergantung pada domain dan sifat dari fungsi itu sendiri. Dengan memahami bagaimana domain memengaruhi output, kita bisa menentukan range dengan lebih mudah. Keren, kan?

Kesimpulan

• $(g \circ f)(x) = x + 2$
• Domain $(g \circ f)(x) = [0, \infty)$
• Range $(g \circ f)(x) = [2, \infty)$

Semoga penjelasan ini membantu, ya, guys! Tetap semangat belajar matematika dan jangan takut untuk mencoba. Semakin sering berlatih, semakin mudah kalian memahami konsep-konsep ini. Sukses selalu!