Hitung Range, Kuartil, Simpangan, Kemiringan & Kurtosis!

by ADMIN 57 views
Iklan Headers

Guys, kali ini kita bakal bahas tuntas cara menghitung range, rentang antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, koefisien kemiringan, dan koefisien kurtosis dari data kelompok. Topik ini penting banget dalam statistika, jadi simak baik-baik ya! Kita akan menggunakan data kelompok yang sudah diberikan sebagai contoh supaya lebih mudah dipahami. Yuk, langsung aja kita mulai!

Data Kelompok yang Akan Kita Analisis

Sebelum masuk ke perhitungan, mari kita lihat dulu data kelompok yang akan kita gunakan:

Rentang Frekuensi
31-40 5
41-50 10
51-60 8
61-70 5
71-80 3
81-90 2
91-100 1

Data ini menunjukkan distribusi frekuensi dari suatu variabel dalam rentang tertentu. Misalnya, ada 5 data yang berada dalam rentang 31-40, 10 data dalam rentang 41-50, dan seterusnya. Sekarang, mari kita hitung berbagai ukuran statistik dari data ini.

1. Menghitung Range (Rentang)

Range atau rentang adalah ukuran penyebaran data yang paling sederhana. Cara menghitungnya gampang banget, guys! Kita cuma perlu mencari selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dari data.

Langkah-langkah Menghitung Range:

  1. Tentukan nilai tengah kelas tertinggi: Dalam data ini, kelas tertinggi adalah 91-100. Nilai tengahnya adalah (91 + 100) / 2 = 95.5
  2. Tentukan nilai tengah kelas terendah: Kelas terendah adalah 31-40. Nilai tengahnya adalah (31 + 40) / 2 = 35.5
  3. Hitung selisihnya: Range = Nilai Tengah Maksimum - Nilai Tengah Minimum

Perhitungan:

Range = 95.5 - 35.5 = 60

Jadi, range dari data kelompok ini adalah 60. Ini menunjukkan seberapa lebar penyebaran data kita.

2. Menghitung Rentang Antar Kuartil (RAK)

Rentang antar kuartil (RAK) memberikan gambaran tentang penyebaran data di sekitar median. RAK dihitung dengan mencari selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Jadi, kita perlu cari tahu dulu nilai Q1 dan Q3.

Langkah-langkah Menghitung RAK:

  1. Menentukan Kuartil Bawah (Q1)

    • Cari posisi Q1: Posisi Q1 = (1/4) * n, di mana n adalah jumlah total frekuensi. Jumlah total frekuensi kita adalah 5 + 10 + 8 + 5 + 3 + 2 + 1 = 34. Jadi, Posisi Q1 = (1/4) * 34 = 8.5. Ini berarti Q1 berada di antara data ke-8 dan ke-9.
    • Tentukan kelas Q1: Data ke-8 dan ke-9 berada di kelas 41-50 (karena kelas pertama 31-40 ada 5 data, dan kelas kedua 41-50 ada 10 data).
    • Gunakan rumus interpolasi: Q1 = L + [( (n/4) - F ) / f ] * c Di mana:
      • L = Tepi bawah kelas Q1 (40.5)
      • n = Jumlah total frekuensi (34)
      • F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Q1 (5)
      • f = Frekuensi kelas Q1 (10)
      • c = Panjang kelas interval (10)

Perhitungan Q1:

Q1 = 40.5 + [ ( (34/4) - 5 ) / 10 ] * 10

Q1 = 40.5 + [ (8.5 - 5) / 10 ] * 10

Q1 = 40.5 + [ 3.5 / 10 ] * 10

Q1 = 40.5 + 3.5

Q1 = 44

  1. Menentukan Kuartil Atas (Q3)

    • Cari posisi Q3: Posisi Q3 = (3/4) * n = (3/4) * 34 = 25.5. Ini berarti Q3 berada di antara data ke-25 dan ke-26.
    • Tentukan kelas Q3: Data ke-25 dan ke-26 berada di kelas 61-70 (frekuensi kumulatif hingga kelas 51-60 adalah 5 + 10 + 8 = 23, jadi data ke-25 dan 26 ada di kelas berikutnya).
    • Gunakan rumus interpolasi: Q3 = L + [( (3n/4) - F ) / f ] * c Di mana:
      • L = Tepi bawah kelas Q3 (60.5)
      • n = Jumlah total frekuensi (34)
      • F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Q3 (23)
      • f = Frekuensi kelas Q3 (5)
      • c = Panjang kelas interval (10)

Perhitungan Q3:

Q3 = 60.5 + [ ( (3 * 34/4) - 23 ) / 5 ] * 10

Q3 = 60.5 + [ (25.5 - 23) / 5 ] * 10

Q3 = 60.5 + [ 2.5 / 5 ] * 10

Q3 = 60.5 + 5

Q3 = 65.5

  1. Menghitung RAK

    • RAK = Q3 - Q1

Perhitungan RAK:

RAK = 65.5 - 44 = 21.5

Jadi, rentang antar kuartil dari data ini adalah 21.5. Ini menunjukkan seberapa besar penyebaran data di tengah-tengah distribusi.

3. Menghitung Rata-rata Simpangan (Mean Deviation)

Rata-rata simpangan (RS) mengukur seberapa jauh setiap nilai data menyimpang dari rata-rata. Semakin kecil RS, semakin dekat data dengan rata-rata.

Langkah-langkah Menghitung RS:

  1. Hitung nilai tengah setiap kelas (xi):
    • 31-40: (31 + 40) / 2 = 35.5
    • 41-50: (41 + 50) / 2 = 45.5
    • 51-60: (51 + 60) / 2 = 55.5
    • 61-70: (61 + 70) / 2 = 65.5
    • 71-80: (71 + 80) / 2 = 75.5
    • 81-90: (81 + 90) / 2 = 85.5
    • 91-100: (91 + 100) / 2 = 95.5
  2. Hitung rata-rata (x̄): x̄ = (Σ(fi * xi)) / Σfi
  3. Hitung simpangan absolut setiap kelas (|xi - x̄|)
  4. Hitung rata-rata simpangan: RS = (Σ(fi * |xi - x̄|)) / Σfi

Perhitungan:

  1. Menghitung Rata-rata (x̄)

    • Σ(fi * xi) = (5 * 35.5) + (10 * 45.5) + (8 * 55.5) + (5 * 65.5) + (3 * 75.5) + (2 * 85.5) + (1 * 95.5) = 177.5 + 455 + 444 + 327.5 + 226.5 + 171 + 95.5 = 1897
    • Σfi = 34
    • xÌ„ = 1897 / 34 = 55.8 (dibulatkan)

  2. Menghitung Simpangan Absolut (|xi - x̄|)

    • |35.5 - 55.8| = 20.3
    • |45.5 - 55.8| = 10.3
    • |55.5 - 55.8| = 0.3
    • |65.5 - 55.8| = 9.7
    • |75.5 - 55.8| = 19.7
    • |85.5 - 55.8| = 29.7
    • |95.5 - 55.8| = 39.7

  3. Menghitung Rata-rata Simpangan (RS)

    • Σ(fi * |xi - xÌ„|) = (5 * 20.3) + (10 * 10.3) + (8 * 0.3) + (5 * 9.7) + (3 * 19.7) + (2 * 29.7) + (1 * 39.7) = 101.5 + 103 + 2.4 + 48.5 + 59.1 + 59.4 + 39.7 = 413.6
    • RS = 413.6 / 34 = 12.16 (dibulatkan)

Jadi, rata-rata simpangan dari data ini adalah 12.16. Ini berarti rata-rata, setiap nilai data menyimpang sekitar 12.16 dari rata-rata keseluruhan.

4. Menghitung Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Simpangan baku adalah ukuran penyebaran data yang paling umum digunakan. Ini menunjukkan seberapa jauh data tersebar dari rata-rata. Semakin besar simpangan baku, semakin besar penyebarannya.

Langkah-langkah Menghitung Simpangan Baku:

  1. Hitung nilai tengah setiap kelas (xi) (sudah kita hitung di langkah sebelumnya)
  2. Hitung rata-rata (x̄) (sudah kita hitung di langkah sebelumnya)
  3. Hitung kuadrat simpangan setiap kelas ((xi - x̄)^2)
  4. Hitung simpangan baku (s): s = √[ (Σ(fi * (xi - x̄)^2)) / (Σfi - 1) ]

Perhitungan:

  1. Menghitung Kuadrat Simpangan ((xi - x̄)^2)

    • (35.5 - 55.8)^2 = 412.09
    • (45.5 - 55.8)^2 = 106.09
    • (55.5 - 55.8)^2 = 0.09
    • (65.5 - 55.8)^2 = 94.09
    • (75.5 - 55.8)^2 = 396.09
    • (85.5 - 55.8)^2 = 882.09
    • (95.5 - 55.8)^2 = 1576.09

  2. Menghitung Simpangan Baku (s)

    • Σ(fi * (xi - xÌ„)^2) = (5 * 412.09) + (10 * 106.09) + (8 * 0.09) + (5 * 94.09) + (3 * 396.09) + (2 * 882.09) + (1 * 1576.09) = 2060.45 + 1060.9 + 0.72 + 470.45 + 1188.27 + 1764.18 + 1576.09 = 8121.06
    • s = √[ 8121.06 / (34 - 1) ]
    • s = √[ 8121.06 / 33 ]
    • s = √246.09
    • s = 15.69 (dibulatkan)

Jadi, simpangan baku dari data ini adalah 15.69. Ini menunjukkan seberapa besar variasi data di sekitar rata-rata.

5. Menghitung Koefisien Kemiringan (Skewness)

Koefisien kemiringan mengukur seberapa simetris distribusi data. Jika distribusinya simetris, koefisien kemiringan akan mendekati 0. Jika miring ke kanan (ekor panjang di sisi kanan), koefisiennya positif. Jika miring ke kiri (ekor panjang di sisi kiri), koefisiennya negatif.

Rumus Koefisien Kemiringan (Pearson):

Skewness = 3 * (Mean - Median) / Standard Deviation

Kita sudah punya Mean (rata-rata) dan Standard Deviation (simpangan baku). Kita perlu mencari Median (nilai tengah) dulu.

Menghitung Median:

  1. Cari posisi Median: Posisi Median = n/2 = 34/2 = 17. Ini berarti median berada di antara data ke-17 dan ke-18.
  2. Tentukan kelas Median: Data ke-17 dan ke-18 berada di kelas 41-50 (frekuensi kumulatif hingga kelas 41-50 adalah 15, dan kelas berikutnya 51-60 frekuensinya 8, jadi data ke-17 dan 18 ada di kelas 41-50).
  3. Gunakan rumus interpolasi: Median = L + [( (n/2) - F ) / f ] * c Di mana:
    • L = Tepi bawah kelas Median (40.5)
    • n = Jumlah total frekuensi (34)
    • F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Median (5)
    • f = Frekuensi kelas Median (10)
    • c = Panjang kelas interval (10)

Perhitungan Median:

Median = 40.5 + [ ( (34/2) - 5 ) / 10 ] * 10

Median = 40.5 + [ (17 - 5) / 10 ] * 10

Median = 40.5 + [ 12 / 10 ] * 10

Median = 40.5 + 12

Median = 52.5

Menghitung Koefisien Kemiringan:

Skewness = 3 * (55.8 - 52.5) / 15.69

Skewness = 3 * 3.3 / 15.69

Skewness = 9.9 / 15.69

Skewness = 0.63 (dibulatkan)

Koefisien kemiringan kita adalah 0.63, yang positif. Ini berarti distribusi data miring ke kanan, dengan ekor yang lebih panjang di sisi kanan.

6. Menghitung Koefisien Kurtosis

Koefisien kurtosis mengukur keruncingan distribusi data. Ada tiga jenis kurtosis:

  • Mesokurtik: Kurtosis ≈ 0 (distribusi normal)
  • Leptokurtik: Kurtosis > 0 (distribusi lebih runcing dari normal)
  • Platikurtik: Kurtosis < 0 (distribusi lebih datar dari normal)

Rumus Koefisien Kurtosis (Pearson):

Kurtosis = (Σ [fi * (xi - x̄)^4] / (n * s^4)) - 3

Kita sudah punya semua komponen yang dibutuhkan, kecuali Σ [fi * (xi - x̄)^4]. Jadi, kita hitung dulu bagian ini.

Langkah-langkah Menghitung Koefisien Kurtosis:

  1. Hitung (xi - x̄)^4 untuk setiap kelas
  2. Hitung Σ [fi * (xi - x̄)^4]
  3. Masukkan ke dalam rumus kurtosis

Perhitungan:

  1. Menghitung (xi - x̄)^4

    • (35.5 - 55.8)^4 = 170018.44
    • (45.5 - 55.8)^4 = 11257.92
    • (55.5 - 55.8)^4 = 0.0081
    • (65.5 - 55.8)^4 = 8853.22
    • (75.5 - 55.8)^4 = 156884.16
    • (85.5 - 55.8)^4 = 778024.89
    • (95.5 - 55.8)^4 = 2483160.81

  2. Menghitung Σ [fi * (xi - x̄)^4]

    • Σ [fi * (xi - xÌ„)^4] = (5 * 170018.44) + (10 * 11257.92) + (8 * 0.0081) + (5 * 8853.22) + (3 * 156884.16) + (2 * 778024.89) + (1 * 2483160.81) = 850092.2 + 112579.2 + 0.0648 + 44266.1 + 470652.48 + 1556049.78 + 2483160.81 = 5516800.63

  3. Menghitung Koefisien Kurtosis

    • Kurtosis = (5516800.63 / (34 * 15.69^4)) - 3
    • Kurtosis = (5516800.63 / (34 * 60452.46)) - 3
    • Kurtosis = (5516800.63 / 2055383.64) - 3
    • Kurtosis = 2.68 - 3
    • Kurtosis = -0.32

Koefisien kurtosis kita adalah -0.32, yang negatif. Ini berarti distribusi data kita Platikurtik, atau lebih datar dari distribusi normal.

Kesimpulan

Oke guys, kita sudah berhasil menghitung semua ukuran statistik yang diminta dari data kelompok ini:

  • Range: 60
  • Rentang Antar Kuartil: 21.5
  • Rata-rata Simpangan: 12.16
  • Simpangan Baku: 15.69
  • Koefisien Kemiringan: 0.63 (Miring ke Kanan)
  • Koefisien Kurtosis: -0.32 (Platikurtik)

Semoga penjelasan ini mudah dipahami ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya! Keep learning, guys!