Rumus Transformasi Geometri: Translasi, Refleksi, Rotasi

by ADMIN 57 views
Iklan Headers

Hai, guys! Balik lagi nih sama kita yang bakal bahas topik seru di dunia matematika. Kali ini, kita bakal kupas tuntas soal transformasi geometri. Buat kalian yang masih bingung atau mau ngulik lebih dalam soal translasi, refleksi, dan rotasi, pas banget nih baca artikel ini. Kita bakal coba pecahin beberapa soal yang sering muncul biar kalian makin jago.

Transformasi geometri itu ibaratnya kayak memindahkan, membalik, atau memutar suatu objek di bidang datar tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. Ada beberapa jenis transformasi dasar yang perlu kita kuasai, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/pengecilan). Nah, di artikel kali ini, kita bakal fokus di tiga yang pertama: translasi, refleksi, dan rotasi. Yuk, langsung aja kita bedah satu per satu!

1. Translasi: Menggeser Objek Tanpa Mengubah Bentuk

Translasi itu konsep yang paling gampang dipahami, soalnya mirip banget sama kehidupan sehari-hari. Bayangin aja kamu lagi ngotekan keyboard, setiap huruf yang kamu tekan itu kan digeser posisinya, nah itu translasi! Dalam matematika, translasi adalah perpindahan suatu objek dari satu posisi ke posisi lain dengan jarak dan arah yang sama. Nggak ada perubahan ukuran, bentuk, atau orientasi sama sekali, cuma geser aja. Kerennya lagi, translasi itu bisa dilakukan ke segala arah, baik horizontal, vertikal, maupun diagonal.

Rumus dasar translasi itu sederhana banget. Kalau kita punya titik P(x, y) yang ditranslasikan oleh T(a, b), maka bayangan titik P, yang biasa kita tulis P'(x', y'), akan didapatkan dengan menjumlahkan koordinat titik P dengan vektor translasi T. Jadi, rumusnya gampang aja: x' = x + a dan y' = y + b. Jadi, kalau titik P berkoordinat (x, y) dan digeser sejauh 'a' ke kanan (atau kiri kalau 'a' negatif) dan sejauh 'b' ke atas (atau bawah kalau 'b' negatif), maka posisi barunya ada di (x+a, y+b).

Gimana kalau yang ditranslasikan itu bukan cuma titik, tapi garis? Nah, kalau kita punya persamaan garis, misalnya garis g, yang memiliki persamaan Ax + By + C = 0, dan kita translasikan oleh T(a, b), maka bayangannya, g', akan punya persamaan yang sedikit berbeda. Caranya, kita substitusikan x dengan x' - a dan y dengan y' - b ke dalam persamaan garis g. Kenapa begitu? Soalnya, kalau bayangan titiknya itu (x', y'), maka titik aslinya (x, y) itu bisa didapat dari x = x' - a dan y = y' - b. Jadi, kita tinggal substitusi aja ke persamaan awal. Kalau udah disubstitusi, nanti bakal ketemu persamaan garis bayangannya.

Contoh soal yang sering muncul itu kayak gini: Jika garis y = x + 6 ditranslasikan oleh T(3, 4), tentukan persamaan bayangannya. Nah, di sini, kita punya persamaan garis y = x + 6. Vektor translasinya adalah T(3, 4). Sesuai rumus substitusi yang tadi kita bahas, kita ganti x dengan x' - 3 dan y dengan y' - 4. Jadi, persamaan garisnya jadi: (y' - 4) = (x' - 3) + 6. Tinggal kita sederhanain deh. y' - 4 = x' + 3. Pindahin -4 ke kanan jadi +4, jadinya y' = x' + 3 + 4, yaitu y' = x' + 7. Nah, kalau udah ketemu, biasanya kita kembaliin pakai notasi x dan y aja, jadi persamaan bayangannya adalah y = x + 7. Gampang banget kan? Intinya, pahami dulu konsep substitusinya, guys!

2. Refleksi: Mencerminkan Objek Seperti di Cermin

Selanjutnya, ada refleksi atau pencerminan. Konsepnya juga nggak kalah gampang, bayangin aja kamu lagi berdiri di depan cermin. Wajah yang kamu lihat di cermin itu adalah bayangan dari dirimu, kan? Nah, itulah refleksi. Dalam matematika, refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin, dan garis yang menghubungkan titik dengan bayangannya tegak lurus dengan cermin.

Ada beberapa jenis refleksi yang umum banget, tergantung sama sumbu atau garis yang dijadikan cerminnya. Yang paling sering kita temui adalah:

  • Refleksi terhadap sumbu x: Kalau titik P(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangannya adalah P'(x, -y). Ingat aja, sumbu x itu kayak garis horizontal, jadi koordinat y-nya yang berubah tanda.
  • Refleksi terhadap sumbu y: Nah, kalau dicerminkan terhadap sumbu y (garis vertikal), bayangannya jadi P'(-x, y). Koordinat x-nya yang berubah tanda.
  • Refleksi terhadap titik asal (0, 0): Kalau dicerminkan terhadap titik asal, bayangannya adalah P'(-x, -y). Kedua koordinatnya berubah tanda.
  • Refleksi terhadap garis y = x: Ini agak unik nih. Kalau titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x, bayangannya adalah P'(y, x). Koordinat x dan y-nya bertukar posisi.
  • Refleksi terhadap garis y = -x: Mirip kayak tadi, tapi ada tambahan tanda negatif. Bayangan P(x, y) terhadap garis y = -x adalah P'(-y, -x).
  • Refleksi terhadap garis x = k: Kalau dicerminkan terhadap garis vertikal x = k, bayangannya adalah P'(2k - x, y). Konsepnya gini, jarak dari x ke k itu kan k - x, nah jarak bayangan dari k juga sama, jadi k + (k - x) = 2k - x.
  • Refleksi terhadap garis y = k: Sama kayak tadi, tapi buat garis horizontal. Bayangan P(x, y) terhadap garis y = k adalah P'(x, 2k - y).

Sekarang, gimana kalau yang dicerminkan itu garis? Sama kayak translasi, kita perlu substitusi. Tapi substitusinya tergantung cerminnya. Misalnya, kalau garis x - 2y = 3 dicerminkan terhadap sumbu y, kita tahu dari rumus di atas kalau bayangan titik (x, y) terhadap sumbu y adalah (-x, y). Artinya, kalau bayangannya (x', y'), maka x' = -x dan y' = y. Dari sini, kita dapatkan x = -x' dan y = y'. Sekarang, kita substitusikan x dan y ini ke persamaan garis awal: (-x') - 2(y') = 3. Jadi, persamaan bayangannya adalah -x - 2y = 3, atau kalau mau lebih rapi bisa dikali -1 jadi x + 2y = -3. Penting banget buat hafal atau ngertiin rumusnya biar nggak ketuker.

3. Rotasi: Memutar Objek Mengelilingi Suatu Titik

Terakhir tapi nggak kalah penting, ada rotasi atau perputaran. Bayangin kamu lagi main gasing atau muter jarum jam, nah itu rotasi! Dalam matematika, rotasi adalah transformasi yang memutar suatu objek mengelilingi suatu titik pusat rotasi dengan besar sudut tertentu. Arah putarannya bisa searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

Rotasi punya rumus yang sedikit lebih kompleks, terutama kalau titik pusatnya bukan di titik asal (0,0). Tapi tenang, kita bisa pecah jadi beberapa langkah biar gampang. Kalau kita punya titik B(x, y) yang mau dirotasikan sebesar sudut $ heta$ terhadap pusat P(a, b), langkah-langkahnya gini:

  1. Translasi titik B ke pusat koordinat (0, 0): Ini gunanya biar kita bisa pakai rumus rotasi standar. Titik B kita geser sejauh -a dan -b. Jadi, koordinat sementara B adalah B''(x - a, y - b).
  2. Rotasi titik B'' mengelilingi titik asal (0, 0): Nah, di sini kita pakai rumus rotasi standar. Kalau rotasi sebesar $ heta$ (positif untuk berlawanan arah jarum jam, negatif untuk searah jarum jam), bayangan B''(x - a, y - b) jadi B'''(x''', y''').
    • x′′′=(x−a)extcosheta−(y−b)extsinhetax''' = (x - a) ext{cos} heta - (y - b) ext{sin} heta
    • y′′′=(x−a)extsinheta+(y−b)extcoshetay''' = (x - a) ext{sin} heta + (y - b) ext{cos} heta
  3. Translasi kembali titik B''' sejauh a dan b: Setelah diputar, kita kembalikan lagi posisinya dengan mentranslasikan sejauh a dan b. Jadi, bayangan akhir B' adalah:
    • x′=x′′′+ax' = x''' + a
    • y′=y′′′+by' = y''' + b

Khusus buat rotasi dengan sudut istimewa kayak 90°, 180°, 270°, atau 360°, rumusnya jadi lebih simpel. Misalnya:

  • Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap (0, 0): P(x, y) ightarrow ightarrow P'(-y, x)
  • Rotasi 180° terhadap (0, 0): P(x, y) ightarrow ightarrow P'(-x, -y)
  • Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam (atau 90° searah jarum jam) terhadap (0, 0): P(x, y) ightarrow ightarrow P'(y, -x)

Sekarang, mari kita coba soal yang dikasih: Titik B(1, -4) dirotasikan sebesar 90° terhadap pusat (-2, 1), tentukan bayangannya.

Kita punya B(1, -4) dan pusat rotasi P(-2, 1), dengan sudut rotasi $ heta = 90^ ext{o}$. Kita pakai langkah-langkah di atas:

  1. Translasi B agar pusat rotasi jadi (0,0): Kita geser B sejauh -(-2) = 2 dan -1. Jadi, koordinat sementara B adalah B''(1 + 2, -4 - 1) = B''(3, -5).
  2. Rotasi B'' sebesar 90° terhadap (0,0): Karena sudutnya 90° berlawanan arah jarum jam, kita pakai rumus P(x, y) ightarrow ightarrow P'(-y, x). Jadi, B''(3, -5) akan jadi B'''(-(-5), 3) = B'''(5, 3).
  3. Translasi kembali B''' sejauh pusat rotasi semula (-2, 1): Kita geser B'''(5, 3) sejauh -2 dan 1. Jadi, bayangan akhir B' adalah (5 - 2, 3 + 1) = (3, 4).

Jadi, bayangan titik B(1, -4) setelah dirotasikan sebesar 90° terhadap pusat (-2, 1) adalah titik B'(3, 4). Gimana? Ternyata nggak sesulit yang dibayangkan, kan? Kuncinya adalah memahami langkah-langkahnya dan menghafal rumus-rumus dasarnya.

Semoga penjelasan soal translasi, refleksi, dan rotasi ini bisa ngebantu kalian ya, guys. Terus semangat belajar matematika dan jangan pernah takut buat mencoba soal-soal baru! Sampai jumpa di artikel selanjutnya!