Soal Polinomial: Mencari Nilai (q-p) Dan 10ab

Hey guys! Kali ini kita bakal bahas soal-soal polinomial yang sering bikin pusing. Jangan khawatir, kita akan bedah satu per satu sampai kalian paham konsepnya. Siap?

Soal 1: Mencari Nilai (q-p)

Soalnya: Jika suku banyak $px^4 + 2x^3 - qx - 4$ habis dibagi dengan $(x - 1)$, tentukan nilai $(q-p)$.

Nah, di soal ini, kita dikasih tahu ada suku banyak yang habis dibagi oleh $(x - 1)$. Ini adalah clue penting, guys! Kalau suatu suku banyak habis dibagi oleh $(x - a)$, itu artinya $(x - a)$ adalah faktor dari suku banyak tersebut. Dengan kata lain, kalau kita substitusi $x = a$ ke dalam suku banyak, hasilnya pasti nol. Ini adalah konsep Teorema Faktor yang penting banget dalam polinomial.

Langkah 1: Gunakan Teorema Faktor

Karena suku banyak $px^4 + 2x^3 - qx - 4$ habis dibagi $(x - 1)$, maka jika kita substitusi $x = 1$, hasilnya harus nol. Jadi, kita punya:

$p(1)^4 + 2(1)^3 - q(1) - 4 = 0$

Sederhanakan persamaan ini, guys:

$p + 2 - q - 4 = 0$

$p - q - 2 = 0$

Persamaan ini bisa kita tulis ulang jadi:

$p - q = 2$ ...(Persamaan 1)

Langkah 2: Mencari Nilai (q-p)

Yang ditanya di soal adalah nilai $(q - p)$. Kita udah punya persamaan $p - q = 2$. Nah, untuk mendapatkan $(q - p)$, kita tinggal kalikan kedua ruas persamaan dengan -1:

$-1(p - q) = -1(2)$

$-p + q = -2$

$q - p = -2$

Jadi, nilai (q-p) adalah -2. Gampang kan, guys? Kuncinya adalah memahami Teorema Faktor dan bagaimana cara menggunakannya.

Tips Tambahan: Dalam soal polinomial, seringkali kita harus jeli melihat petunjuk yang diberikan. Kata-kata seperti "habis dibagi" atau "faktor" adalah sinyal kuat untuk menggunakan teorema-teorema penting.

Soal 2: Mencari Nilai 10ab

Soalnya: Jika suku banyak $f(x) = ax^3 + x^2 + bx + 1$ habis dibagi $x^2 + 1$ dan $x + a$, tentukan nilai $10ab$.

Soal ini sedikit lebih kompleks, tapi jangan panik! Kita akan pecahkan langkah demi langkah. Di sini, kita punya dua informasi penting: suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $x^2 + 1$ dan $x + a$. Ini berarti kita bisa menggunakan Teorema Faktor dua kali!

Langkah 1: Habis Dibagi (x + a)

Karena $f(x)$ habis dibagi $(x + a)$, maka $f(-a) = 0$. Kita substitusi $x = -a$ ke dalam $f(x)$:

$f(-a) = a(-a)^3 + (-a)^2 + b(-a) + 1 = 0$

$-a^4 + a^2 - ab + 1 = 0$ ...(Persamaan 2)

Langkah 2: Habis Dibagi (x^2 + 1)

Nah, kalau $f(x)$ habis dibagi $x^2 + 1$, ini berarti kita bisa menulis $f(x)$ sebagai hasil perkalian $(x^2 + 1)$ dengan suatu suku banyak lain. Karena $f(x)$ adalah suku banyak derajat 3 dan $x^2 + 1$ adalah suku banyak derajat 2, maka hasil bagi (suku banyak lain) pasti berderajat 1. Jadi, kita bisa tulis:

$f(x) = (x^2 + 1)(cx + d)$

dengan $c$ dan $d$ adalah konstanta yang perlu kita cari. Sekarang, kita jabarkan perkalian ini:

$f(x) = cx^3 + dx^2 + cx + d$

Kita punya dua bentuk untuk $f(x)$: $ax^3 + x^2 + bx + 1$ dan $cx^3 + dx^2 + cx + d$. Karena ini adalah suku banyak yang sama, koefisien suku-suku yang bersesuaian harus sama. Jadi, kita dapatkan:

• $a = c$
• $1 = d$
• $b = c$
• $1 = d$

Dari sini, kita tahu $a = c$, $b = c$, dan $d = 1$. Karena $a = c$ dan $b = c$, maka $a = b$.

Langkah 3: Substitusi dan Selesaikan

Kita sudah dapatkan $a = b$ dan $d = 1$. Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam Persamaan 2:

$-a^4 + a^2 - a^2 + 1 = 0$

$-a^4 + 1 = 0$

$a^4 = 1$

Ada dua solusi real untuk persamaan ini: $a = 1$ atau $a = -1$.

• Kasus 1: a = 1

Jika $a = 1$, maka $b = 1$ (karena $a = b$). Jadi, $10ab = 10(1)(1) = 10$.

• Kasus 2: a = -1

Jika $a = -1$, maka $b = -1$. Jadi, $10ab = 10(-1)(-1) = 10$.

Jadi, nilai 10ab adalah 10. Lumayan panjang ya, guys? Tapi intinya adalah memecah soal menjadi langkah-langkah kecil dan menggunakan informasi yang diberikan secara efektif.

Tips Tambahan: Kalau ada informasi suku banyak habis dibagi oleh suku banyak lain, coba tuliskan dalam bentuk perkalian seperti ini: $f(x) = (pembagi)(hasil bagi)$. Ini seringkali membantu untuk menemukan hubungan antar koefisien.

Soal 3: Suku Banyak V(x) Dibagi Oleh...

Untuk soal yang ini, sayangnya pertanyaannya belum lengkap, guys. Kita perlu tahu V(x) dibagi oleh apa untuk bisa menyelesaikannya. Tapi, jangan khawatir! Kita bisa bahas konsep umumnya.

Biasanya, kalau ada soal seperti ini, kita akan menggunakan Teorema Sisa atau Teorema Faktor. Teorema Sisa membantu kita mencari sisa pembagian suku banyak tanpa melakukan pembagian panjang. Sedangkan Teorema Faktor (seperti yang kita bahas di soal pertama) membantu kita mencari faktor dari suku banyak.

Contoh:

Misalkan soalnya adalah: Jika suku banyak $V(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$ dibagi oleh $(x - 2)$, tentukan sisanya.

Nah, kita bisa menggunakan Teorema Sisa. Sisa pembagian $V(x)$ oleh $(x - 2)$ adalah $V(2)$. Jadi, kita substitusi $x = 2$ ke dalam $V(x)$:

$V(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - (2) + 3 = 8 + 8 - 2 + 3 = 17$

Jadi, sisanya adalah 17.

Tips Tambahan: Jangan lupa untuk selalu perhatikan apa yang ditanyakan di soal. Apakah yang ditanya sisa pembagian, faktor, atau nilai suku banyak pada titik tertentu? Ini akan membantu kita memilih teorema atau metode yang tepat.

Oke guys, itu tadi pembahasan soal-soal polinomial. Semoga kalian makin paham ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Semangat terus belajarnya!