Solusi Cepat: Logaritma Basis 3

by ADMIN 32 views

Hey guys! Kali ini kita bakal membahas soal matematika yang keliatannya rumit tapi sebenarnya bisa banget disederhanakan. Soalnya adalah mencari hasil dari ekspresi logaritma ini:

(3logĀ 36)2āˆ’(3logĀ 4)23logĀ 12\frac{(^{3}\text{log } 36 )^{2} - (^{3}\text{log } 4)^{2}}{^{3}\text{log } \sqrt{12}}

Keliatan ribet ya? Tapi tenang, kita pecahkan langkah demi langkah biar makin jelas dan kamu bisa langsung paham!

Memahami Konsep Dasar Logaritma

Sebelum kita mulai ngitung, ada baiknya kita refresh dulu konsep dasar logaritma. Logaritma itu sederhananya adalah kebalikan dari eksponen. Jadi, kalau kita punya persamaan ab=ca^b = c, maka bentuk logaritmanya adalah alogĀ c=b^a\text{log } c = b. Di sini, 'a' adalah basis logaritma, 'c' adalah angka yang dicari logaritmanya, dan 'b' adalah hasil logaritmanya.

Beberapa sifat penting logaritma yang bakal kita pakai:

  1. alogĀ (xy)=alogĀ x+alogĀ y^a\text{log } (xy) = ^a\text{log } x + ^a\text{log } y (Logaritma perkalian)
  2. alogĀ (xy)=alogĀ xāˆ’alogĀ y^a\text{log } (\frac{x}{y}) = ^a\text{log } x - ^a\text{log } y (Logaritma pembagian)
  3. alogĀ xn=nā‹…alogĀ x^a\text{log } x^n = n \cdot ^a\text{log } x (Logaritma pangkat)
  4. a2āˆ’b2=(a+b)(aāˆ’b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) (Selisih kuadrat)

Sifat-sifat ini penting banget buat menyederhanakan ekspresi logaritma yang kompleks. Jadi, pastikan kamu udah familiar ya!

Menyederhanakan Pembilang

Oke, sekarang kita fokus ke pembilang dari ekspresi kita:

(3logĀ 36)2āˆ’(3logĀ 4)2(^{3}\text{log } 36 )^{2} - (^{3}\text{log } 4)^{2}

Perhatikan bahwa bentuk ini mirip banget dengan selisih kuadrat, yaitu a2āˆ’b2a^2 - b^2. Kita bisa faktorkan jadi:

(3logĀ 36+3logĀ 4)(3logĀ 36āˆ’3logĀ 4)(^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4)(^{3}\text{log } 36 - ^{3}\text{log } 4)

Sekarang, kita gunakan sifat logaritma perkalian dan pembagian untuk menyederhanakan masing-masing kurung:

  • Kurung pertama: 3logĀ 36+3logĀ 4=3logĀ (36ā‹…4)=3logĀ 144^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4 = ^{3}\text{log } (36 \cdot 4) = ^{3}\text{log } 144
  • Kurung kedua: 3logĀ 36āˆ’3logĀ 4=3logĀ (364)=3logĀ 9^{3}\text{log } 36 - ^{3}\text{log } 4 = ^{3}\text{log } (\frac{36}{4}) = ^{3}\text{log } 9

Jadi, pembilang kita sekarang jadi:

(3logĀ 144)(3logĀ 9)(^{3}\text{log } 144)(^{3}\text{log } 9)

Kita tahu bahwa 9=329 = 3^2, jadi 3logĀ 9=2^{3}\text{log } 9 = 2. Selanjutnya, 144=122=(3ā‹…4)2=32ā‹…42=32ā‹…24144 = 12^2 = (3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 3^2 \cdot 2^4, maka $^{3}\text{log } 144 = ^{3}\text{log } (3^2 \cdot 2^4) = ^{3}\text{log } 3^2 + ^{3}\text{log } 2^4 = 2 + 4 \cdot ^{3}\text{log } 2 $. Dengan demikian, pembilang menjadi (2+4ā‹…3logĀ 2)ā‹…2=4+8ā‹…3logĀ 2(2 + 4 \cdot ^{3}\text{log } 2 ) \cdot 2 = 4 + 8 \cdot ^{3}\text{log } 2.

Menyederhanakan Penyebut

Sekarang kita lihat penyebutnya:

3logĀ 12^{3}\text{log } \sqrt{12}

Kita bisa tulis 12\sqrt{12} sebagai 121212^{\frac{1}{2}}. Jadi, penyebutnya menjadi:

3logĀ 1212^{3}\text{log } 12^{\frac{1}{2}}

Dengan sifat logaritma pangkat, kita bisa bawa pangkatnya ke depan:

12ā‹…3logĀ 12\frac{1}{2} \cdot ^{3}\text{log } 12

Kita tahu bahwa 12=3ā‹…412 = 3 \cdot 4, jadi 3logĀ 12=3logĀ (3ā‹…4)=3logĀ 3+3logĀ 4=1+3logĀ 4^{3}\text{log } 12 = ^{3}\text{log } (3 \cdot 4) = ^{3}\text{log } 3 + ^{3}\text{log } 4 = 1 + ^{3}\text{log } 4. Maka penyebutnya menjadi 12ā‹…(1+3logĀ 4)\frac{1}{2} \cdot (1 + ^{3}\text{log } 4).

Menyelesaikan Ekspresi

Sekarang kita gabungkan pembilang dan penyebut yang sudah disederhanakan:

(3logĀ 144)(3logĀ 9)12ā‹…3logĀ 12=(3logĀ 144)(2)12ā‹…3logĀ 12\frac{(^{3}\text{log } 144)(^{3}\text{log } 9)}{\frac{1}{2} \cdot ^{3}\text{log } 12} = \frac{(^{3}\text{log } 144)(2)}{\frac{1}{2} \cdot ^{3}\text{log } 12}

4+8ā‹…3logĀ 212ā‹…(1+3logĀ 4)=2(2+4ā‹…3logĀ 2)12ā‹…(1+3logĀ 4)\frac{4 + 8 \cdot ^{3}\text{log } 2}{\frac{1}{2} \cdot (1 + ^{3}\text{log } 4)} = \frac{2(2 + 4 \cdot ^{3}\text{log } 2)}{\frac{1}{2} \cdot (1 + ^{3}\text{log } 4)}

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa substitusi nilai dari 144=36āˆ—4144 = 36 * 4 dan 12=4āˆ—312 = 4 * 3. Sehingga, 3logĀ 144=3logĀ 36+3logĀ 4^{3}\text{log } 144 = ^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4, dan 3logĀ 12=3logĀ 4+3logĀ 3^{3}\text{log } 12 = ^{3}\text{log } 4 + ^{3}\text{log } 3.

(3logĀ 36+3logĀ 4)(3logĀ 9)12ā‹…(3logĀ 4+3logĀ 3)=(3logĀ 36+3logĀ 4)(2)12ā‹…(3logĀ 4+1)\frac{(^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4)(^{3}\text{log } 9)}{\frac{1}{2} \cdot (^{3}\text{log } 4 + ^{3}\text{log } 3)} = \frac{(^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4)(2)}{\frac{1}{2} \cdot (^{3}\text{log } 4 + 1)}

Selanjutnya kita misalkan 3logĀ 4=x^{3}\text{log } 4 = x, maka persamaannya menjadi:

(3logĀ 36+x)(2)12ā‹…(x+1)\frac{(^{3}\text{log } 36 + x)(2)}{\frac{1}{2} \cdot (x + 1)}

4(3logĀ 36+x)(x+1)\frac{4(^{3}\text{log } 36 + x)}{(x + 1)}

Kemudian kita tahu bahwa 36=4āˆ—936 = 4 * 9, maka 3logĀ 36=3logĀ 4+3logĀ 9=x+2^{3}\text{log } 36 = ^{3}\text{log } 4 + ^{3}\text{log } 9 = x + 2. Sehingga persamaannya menjadi:

4(x+2+x)(x+1)=4(2x+2)(x+1)=8(x+1)(x+1)=8\frac{4(x + 2 + x)}{(x + 1)} = \frac{4(2x + 2)}{(x + 1)} = \frac{8(x + 1)}{(x + 1)} = 8

Jadi, hasil akhir dari ekspresi logaritma ini adalah 8.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Logaritma

  • Pahami Sifat-Sifat Logaritma: Ini kunci utama! Tanpa memahami sifat-sifatnya, kamu bakal kesulitan menyederhanakan ekspresi logaritma.
  • Faktorkan: Kalau ada bentuk selisih kuadrat atau bentuk aljabar lainnya, coba faktorkan dulu.
  • Sederhanakan: Ubah bilangan di dalam logaritma menjadi bentuk pangkat atau perkalian yang lebih sederhana.
  • Teliti: Jangan terburu-buru, perhatikan setiap langkah dengan seksama.
  • Banyak Latihan: Semakin banyak latihan, semakin familiar kamu dengan berbagai jenis soal logaritma.

Semoga penjelasan ini membantu ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya kalau masih ada yang bingung. Selamat belajar dan semoga sukses!

Dengan memahami konsep dasar logaritma dan trik-trik penyederhanaan, soal-soal logaritma yang awalnya kelihatan menakutkan jadi terasa lebih mudah, kan? Intinya, jangan lupa untuk terus berlatih dan mengasah kemampuanmu. Good luck!