Solusi Cepat: Logaritma Basis 3

by ADMIN 32 views
Iklan Headers

Hey guys! Kali ini kita bakal membahas soal matematika yang keliatannya rumit tapi sebenarnya bisa banget disederhanakan. Soalnya adalah mencari hasil dari ekspresi logaritma ini:

(3log 36)2−(3log 4)23log 12\frac{(^{3}\text{log } 36 )^{2} - (^{3}\text{log } 4)^{2}}{^{3}\text{log } \sqrt{12}}

Keliatan ribet ya? Tapi tenang, kita pecahkan langkah demi langkah biar makin jelas dan kamu bisa langsung paham!

Memahami Konsep Dasar Logaritma

Sebelum kita mulai ngitung, ada baiknya kita refresh dulu konsep dasar logaritma. Logaritma itu sederhananya adalah kebalikan dari eksponen. Jadi, kalau kita punya persamaan ab=ca^b = c, maka bentuk logaritmanya adalah alog c=b^a\text{log } c = b. Di sini, 'a' adalah basis logaritma, 'c' adalah angka yang dicari logaritmanya, dan 'b' adalah hasil logaritmanya.

Beberapa sifat penting logaritma yang bakal kita pakai:

  1. alog (xy)=alog x+alog y^a\text{log } (xy) = ^a\text{log } x + ^a\text{log } y (Logaritma perkalian)
  2. alog (xy)=alog x−alog y^a\text{log } (\frac{x}{y}) = ^a\text{log } x - ^a\text{log } y (Logaritma pembagian)
  3. alog xn=n⋅alog x^a\text{log } x^n = n \cdot ^a\text{log } x (Logaritma pangkat)
  4. a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) (Selisih kuadrat)

Sifat-sifat ini penting banget buat menyederhanakan ekspresi logaritma yang kompleks. Jadi, pastikan kamu udah familiar ya!

Menyederhanakan Pembilang

Oke, sekarang kita fokus ke pembilang dari ekspresi kita:

(3log 36)2−(3log 4)2(^{3}\text{log } 36 )^{2} - (^{3}\text{log } 4)^{2}

Perhatikan bahwa bentuk ini mirip banget dengan selisih kuadrat, yaitu a2−b2a^2 - b^2. Kita bisa faktorkan jadi:

(3log 36+3log 4)(3log 36−3log 4)(^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4)(^{3}\text{log } 36 - ^{3}\text{log } 4)

Sekarang, kita gunakan sifat logaritma perkalian dan pembagian untuk menyederhanakan masing-masing kurung:

  • Kurung pertama: 3log 36+3log 4=3log (36â‹…4)=3log 144^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4 = ^{3}\text{log } (36 \cdot 4) = ^{3}\text{log } 144
  • Kurung kedua: 3log 36−3log 4=3log (364)=3log 9^{3}\text{log } 36 - ^{3}\text{log } 4 = ^{3}\text{log } (\frac{36}{4}) = ^{3}\text{log } 9

Jadi, pembilang kita sekarang jadi:

(3log 144)(3log 9)(^{3}\text{log } 144)(^{3}\text{log } 9)

Kita tahu bahwa 9=329 = 3^2, jadi 3log 9=2^{3}\text{log } 9 = 2. Selanjutnya, 144=122=(3⋅4)2=32⋅42=32⋅24144 = 12^2 = (3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 3^2 \cdot 2^4, maka $^{3}\text{log } 144 = ^{3}\text{log } (3^2 \cdot 2^4) = ^{3}\text{log } 3^2 + ^{3}\text{log } 2^4 = 2 + 4 \cdot ^{3}\text{log } 2 $. Dengan demikian, pembilang menjadi (2+4⋅3log 2)⋅2=4+8⋅3log 2(2 + 4 \cdot ^{3}\text{log } 2 ) \cdot 2 = 4 + 8 \cdot ^{3}\text{log } 2.

Menyederhanakan Penyebut

Sekarang kita lihat penyebutnya:

3log 12^{3}\text{log } \sqrt{12}

Kita bisa tulis 12\sqrt{12} sebagai 121212^{\frac{1}{2}}. Jadi, penyebutnya menjadi:

3log 1212^{3}\text{log } 12^{\frac{1}{2}}

Dengan sifat logaritma pangkat, kita bisa bawa pangkatnya ke depan:

12⋅3log 12\frac{1}{2} \cdot ^{3}\text{log } 12

Kita tahu bahwa 12=3⋅412 = 3 \cdot 4, jadi 3log 12=3log (3⋅4)=3log 3+3log 4=1+3log 4^{3}\text{log } 12 = ^{3}\text{log } (3 \cdot 4) = ^{3}\text{log } 3 + ^{3}\text{log } 4 = 1 + ^{3}\text{log } 4. Maka penyebutnya menjadi 12⋅(1+3log 4)\frac{1}{2} \cdot (1 + ^{3}\text{log } 4).

Menyelesaikan Ekspresi

Sekarang kita gabungkan pembilang dan penyebut yang sudah disederhanakan:

(3log 144)(3log 9)12⋅3log 12=(3log 144)(2)12⋅3log 12\frac{(^{3}\text{log } 144)(^{3}\text{log } 9)}{\frac{1}{2} \cdot ^{3}\text{log } 12} = \frac{(^{3}\text{log } 144)(2)}{\frac{1}{2} \cdot ^{3}\text{log } 12}

4+8⋅3log 212⋅(1+3log 4)=2(2+4⋅3log 2)12⋅(1+3log 4)\frac{4 + 8 \cdot ^{3}\text{log } 2}{\frac{1}{2} \cdot (1 + ^{3}\text{log } 4)} = \frac{2(2 + 4 \cdot ^{3}\text{log } 2)}{\frac{1}{2} \cdot (1 + ^{3}\text{log } 4)}

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa substitusi nilai dari 144=36∗4144 = 36 * 4 dan 12=4∗312 = 4 * 3. Sehingga, 3log 144=3log 36+3log 4^{3}\text{log } 144 = ^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4, dan 3log 12=3log 4+3log 3^{3}\text{log } 12 = ^{3}\text{log } 4 + ^{3}\text{log } 3.

(3log 36+3log 4)(3log 9)12⋅(3log 4+3log 3)=(3log 36+3log 4)(2)12⋅(3log 4+1)\frac{(^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4)(^{3}\text{log } 9)}{\frac{1}{2} \cdot (^{3}\text{log } 4 + ^{3}\text{log } 3)} = \frac{(^{3}\text{log } 36 + ^{3}\text{log } 4)(2)}{\frac{1}{2} \cdot (^{3}\text{log } 4 + 1)}

Selanjutnya kita misalkan 3log 4=x^{3}\text{log } 4 = x, maka persamaannya menjadi:

(3log 36+x)(2)12⋅(x+1)\frac{(^{3}\text{log } 36 + x)(2)}{\frac{1}{2} \cdot (x + 1)}

4(3log 36+x)(x+1)\frac{4(^{3}\text{log } 36 + x)}{(x + 1)}

Kemudian kita tahu bahwa 36=4∗936 = 4 * 9, maka 3log 36=3log 4+3log 9=x+2^{3}\text{log } 36 = ^{3}\text{log } 4 + ^{3}\text{log } 9 = x + 2. Sehingga persamaannya menjadi:

4(x+2+x)(x+1)=4(2x+2)(x+1)=8(x+1)(x+1)=8\frac{4(x + 2 + x)}{(x + 1)} = \frac{4(2x + 2)}{(x + 1)} = \frac{8(x + 1)}{(x + 1)} = 8

Jadi, hasil akhir dari ekspresi logaritma ini adalah 8.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Logaritma

  • Pahami Sifat-Sifat Logaritma: Ini kunci utama! Tanpa memahami sifat-sifatnya, kamu bakal kesulitan menyederhanakan ekspresi logaritma.
  • Faktorkan: Kalau ada bentuk selisih kuadrat atau bentuk aljabar lainnya, coba faktorkan dulu.
  • Sederhanakan: Ubah bilangan di dalam logaritma menjadi bentuk pangkat atau perkalian yang lebih sederhana.
  • Teliti: Jangan terburu-buru, perhatikan setiap langkah dengan seksama.
  • Banyak Latihan: Semakin banyak latihan, semakin familiar kamu dengan berbagai jenis soal logaritma.

Semoga penjelasan ini membantu ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya kalau masih ada yang bingung. Selamat belajar dan semoga sukses!

Dengan memahami konsep dasar logaritma dan trik-trik penyederhanaan, soal-soal logaritma yang awalnya kelihatan menakutkan jadi terasa lebih mudah, kan? Intinya, jangan lupa untuk terus berlatih dan mengasah kemampuanmu. Good luck!