Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan

by ADMIN 57 views

Wah, guys, kali ini kita akan membahas tentang cara jitu menentukan daerah penyelesaian (DP) dari sistem pertidaksamaan linear dengan grafik. Jangan khawatir, meskipun kedengarannya rumit, kita akan membuatnya mudah dipahami. Kita akan mulai dengan memahami konsep dasar, lalu lanjut ke contoh soal yang seru. Mari kita mulai!

Memahami Konsep Dasar: Apa Itu Daerah Penyelesaian?

Sebelum kita masuk lebih dalam, penting untuk memahami apa itu daerah penyelesaian (DP). Bayangkan saja, guys, kita punya beberapa batasan yang harus dipenuhi. Batasan-batasan ini berupa pertidaksamaan, misalnya x + 2y ≥ 2 atau y ≤ 4. Nah, DP adalah area di grafik yang memenuhi semua batasan atau pertidaksamaan tersebut secara bersamaan.

Setiap pertidaksamaan linear memiliki daerah solusi. Daerah solusi untuk sebuah pertidaksamaan linear dapat berupa setengah bidang. Jika tanda pertidaksamaannya adalah ≥ atau ≤, maka garis batasnya termasuk dalam daerah solusi. Jika tanda pertidaksamaannya adalah > atau <, maka garis batasnya tidak termasuk dalam daerah solusi.

Langkah-langkah Menentukan Daerah Penyelesaian

Untuk menentukan DP, kita akan menggunakan grafik. Berikut langkah-langkahnya:

  1. Ubah Pertidaksamaan Menjadi Persamaan: Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan. Misalnya, x + 2y ≥ 2 menjadi x + 2y = 2. Ini akan membantu kita menggambar garis batas.
  2. Gambar Garis Batas: Gambar garis batas dari setiap persamaan pada grafik. Kita akan menggunakan sumbu x dan y. Untuk menggambar garis, kita bisa mencari dua titik yang dilalui garis. Biasanya, kita cari titik potong dengan sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0).
  3. Tentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan: Uji titik. Pilih satu titik yang mudah, misalnya (0,0), dan masukkan ke dalam pertidaksamaan. Jika hasilnya benar, maka daerah yang mengandung titik tersebut adalah DP. Jika salah, maka DP adalah daerah di sisi lain garis.
  4. Tentukan DP Gabungan: DP dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan. Jadi, kita cari irisan (persilangan) dari semua DP dari setiap pertidaksamaan.

Tips: Gunakan pensil dan penggaris untuk menggambar grafik agar lebih rapi. Jangan lupa, ketelitian adalah kunci!

Contoh Soal dan Pembahasan

Sekarang, mari kita bedah beberapa contoh soal. Kita akan melihat bagaimana cara menerapkan langkah-langkah di atas.

Contoh 1: Soal 1: x + 2y >= 2; -3x+y <-3; y <= 4

  1. Ubah ke Persamaan:
    • x + 2y = 2
    • -3x + y = -3
    • y = 4
  2. Gambar Garis Batas:
    • Untuk x + 2y = 2:
      • Jika x = 0, maka y = 1. Titik (0, 1)
      • Jika y = 0, maka x = 2. Titik (2, 0)
    • Untuk -3x + y = -3:
      • Jika x = 0, maka y = -3. Titik (0, -3)
      • Jika y = 0, maka x = 1. Titik (1, 0)
    • Untuk y = 4: Garis horizontal melalui y = 4.
  3. Tentukan DP:
    • Untuk x + 2y ≥ 2: Uji (0,0). 0 + 2(0) ≥ 2 (Salah). DP di atas garis.
    • Untuk -3x + y < -3: Uji (0,0). -3(0) + 0 < -3 (Salah). DP di bawah garis.
    • Untuk y ≤ 4: Uji (0,0). 0 ≤ 4 (Benar). DP di bawah garis.
  4. Tentukan DP Gabungan: DP adalah irisan dari ketiga daerah. Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Contoh 2: Soal 2: 5x + 6y >= 30; - 2x + y <= 0; y >= 2

  1. Ubah ke Persamaan:
    • 5x + 6y = 30
    • -2x + y = 0
    • y = 2
  2. Gambar Garis Batas:
    • Untuk 5x + 6y = 30:
      • Jika x = 0, maka y = 5. Titik (0, 5)
      • Jika y = 0, maka x = 6. Titik (6, 0)
    • Untuk -2x + y = 0:
      • Jika x = 0, maka y = 0. Titik (0, 0)
      • Jika x = 1, maka y = 2. Titik (1, 2)
    • Untuk y = 2: Garis horizontal melalui y = 2.
  3. Tentukan DP:
    • Untuk 5x + 6y ≥ 30: Uji (0,0). 5(0) + 6(0) ≥ 30 (Salah). DP di atas garis.
    • Untuk -2x + y ≤ 0: Uji (1,1). -2(1) + 1 ≤ 0 (Benar). DP di bawah garis.
    • Untuk y ≥ 2: Uji (0,0). 0 ≥ 2 (Salah). DP di atas garis.
  4. Tentukan DP Gabungan: DP adalah irisan dari ketiga daerah. Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Contoh 3: Soal 3: 4x + 3y -> 12; x - 3y >= -3

  1. Ubah ke Persamaan:
    • 4x + 3y = 12
    • x - 3y = -3
  2. Gambar Garis Batas:
    • Untuk 4x + 3y = 12:
      • Jika x = 0, maka y = 4. Titik (0, 4)
      • Jika y = 0, maka x = 3. Titik (3, 0)
    • Untuk x - 3y = -3:
      • Jika x = 0, maka y = 1. Titik (0, 1)
      • Jika y = 0, maka x = -3. Titik (-3, 0)
  3. Tentukan DP:
    • Untuk 4x + 3y > 12: Uji (0,0). 4(0) + 3(0) > 12 (Salah). DP di atas garis.
    • Untuk x - 3y ≥ -3: Uji (0,0). 0 - 3(0) ≥ -3 (Benar). DP di atas garis.
  4. Tentukan DP Gabungan: DP adalah irisan dari kedua daerah. Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Contoh 4: Soal 4: x - 2y <= -2; 3x + 4y >= 12; x >= 0; y>0

  1. Ubah ke Persamaan:
    • x - 2y = -2
    • 3x + 4y = 12
    • x = 0
    • y = 0
  2. Gambar Garis Batas:
    • Untuk x - 2y = -2:
      • Jika x = 0, maka y = 1. Titik (0, 1)
      • Jika y = 0, maka x = -2. Titik (-2, 0)
    • Untuk 3x + 4y = 12:
      • Jika x = 0, maka y = 3. Titik (0, 3)
      • Jika y = 0, maka x = 4. Titik (4, 0)
    • Untuk x = 0: Sumbu y.
    • Untuk y = 0: Sumbu x.
  3. Tentukan DP:
    • Untuk x - 2y ≤ -2: Uji (0,0). 0 - 2(0) ≤ -2 (Salah). DP di bawah garis.
    • Untuk 3x + 4y ≥ 12: Uji (0,0). 3(0) + 4(0) ≥ 12 (Salah). DP di atas garis.
    • Untuk x ≥ 0: Uji (1,0). 1 ≥ 0 (Benar). DP di sebelah kanan garis x=0.
    • Untuk y > 0: Uji (0,1). 1 > 0 (Benar). DP di atas garis y=0.
  4. Tentukan DP Gabungan: DP adalah irisan dari keempat daerah. Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Tips Tambahan dan Kesimpulan

Guys, ada beberapa tips tambahan yang bisa membantu kalian:

  • Gunakan Alat Bantu: Gunakan aplikasi atau website grafik untuk mempermudah. Kalian bisa memasukkan persamaan dan melihat grafiknya dengan mudah.
  • Latihan Rutin: Semakin sering latihan, semakin mudah kalian memahami konsep ini. Coba kerjakan soal-soal latihan dari buku atau internet.
  • Perhatikan Tanda: Jangan sampai salah menafsirkan tanda pertidaksamaan (>, <, ≥, ≤). Ini akan memengaruhi arah DP.

Kesimpulannya, menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan grafik memang membutuhkan ketelitian, tapi dengan memahami konsep dasar dan berlatih, kalian pasti bisa! Jangan ragu untuk mencoba berbagai contoh soal dan teruslah belajar. Semangat, guys!